凸四边形ABCD内接与一圆,另有一圆心在AB边上与其他三边相切的圆,求证AD+BC=AB

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 14:20:09

二楼证了一半
证明：【点击图片放大】
连接OE、OF、OH、OC、OD,过圆O上一点H'作一条
平行于AB的切线C'D'交AD、BC所在的直线于点C'、D',
连接OH'、OC'、OD'
第①步：
首先证明：AD+BC=AC'+BD'
∵四边形ABCD内接于一个圆
∴∠BCD+∠A=180°,∠ADC+∠B=180°
∵C'D'‖AB
∴∠AC'D'+∠A=180°,∠BD'C'+∠B=180°
∴∠BCD=∠AC'D',∠ADC=∠BD'C'
∵C'H'与C'E都切于圆O
利用对称性可知：C'O平分∠AC'D'
同理：CO平分∠BCD
∴∠AC'O=∠AC'D'/2=∠BCD/2=∠BCO
又∵∠OEC'=∠CFO=90°,OE=OF=R
∴△C'OE≌△COF【图中两红色三角形】
同理可证：△DOH≌△D'OH'【图中两蓝色三角形】
∴DE=DH=D'H'=D'F,CF=C'E
∴AD+BC=(AE+DE)+(BF+CF)=(AE+CF)+(BF+DE)
=(AE+C'E)+(BF+D'F)=AC'+BD'
第②步：
只需证明：AB=AC'+BD'
显然∠AOC'=∠OC'D'=∠OC'A
∴AC'=AO
同理可得：BD'=BO
∴AC'+BD'=AO+BO=AB
综合①②两步证明可得：
AD+BC=AB
证毕!

A、B、C、D四点共圆,另一圆圆心在AB上,且与四边形ABCD其余三边都相切,求证：AD+BC=AB（AB和CD是对边）如图,已知四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别与圆O相切与E,F,G,H四点,求证:AB+CD=AD+BC 在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB⊥BC,CD=AD+BC.求证以DC为直径的圆O与AB相切. 如图,在梯形ABCD中 AB垂直AD CD垂直AD 且AB+CD=BC 求证以BC为直径的圆0 与AD相切在梯形ABCD中,AB平行DC,角B =90°,AD=AB+DC,AD是圆O的直径,求证BC与圆O相切如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,AB=AD,∠BCD=120°.求证AC=BC+CD 梯形abcd中,ab//cd,如果以ad为直径的圆与bc相切,求证,已bc为直径的圆与ad相切 O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA长为半径的圆O与BC相切于M与AB,AD分别交于EF,求证圆O与CD相切四边形ABCD内接于圆O,AD平行BC,E是DA延长线上的一点,AB平方=AE*BC,BE与CA的延长线交于点F,求证B 已知:四边形ABCD内接于圆O,AB与DC的延长线交于E点,AD与BC的延长线交于F点.求证:AE·BF=AF·DE 在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,求证:四边形ABCD是菱形在四边形ABCD中,AB=CD,BC平行于AD,求证：四边形ABCD是平行四边形