如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分∠BAC交⊙O于D,点M为△ABC的内心.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/09 14:20:30
如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分∠BAC交⊙O于D,点M为△ABC的内心.
(1)求证:BC=
(1)求证:BC=
2 |
(1)证明:连结MC、DC、BD,如图,
∵点M为△ABC的内心,
∴MC平分∠ACB,
∴∠ACM=∠BCM,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=
1
2∠BAC=45°,
∴∠DBC=∠BCD=45°,
∴△BDC为等腰直角三角形,
∴BC=
2DC,
又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM,
而∠DCM=∠BCD+∠BCM,
∴∠DMC=∠DCM,
∴DC=DM,
∴BC=
2DM;
(2)作MF⊥BC于F,ME⊥AC于E,MH⊥AB于H,如图,
∵DM=5
2,
∴BC=
2DM=10,
而AB=8,
∴AC=
BC2-AB2=6,
设△ABC的内切圆半径为r,
∵点M为△ABC的内心,
∴MH=ME=MF=r,
∴四边形AHME为正方形,
∴AH=AE=r,则CE=CF=6-r,BH=BF=8-r,
而BF+FC=BC,
∴8-r+6-r=10,解得r=2,
∴MF=2,CF=6-2=4,
∵OC=5,
∴OF=5-4=1,
在Rt△OMF中,OM=
MF2+OF2=
5.
∵点M为△ABC的内心,
∴MC平分∠ACB,
∴∠ACM=∠BCM,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=
1
2∠BAC=45°,
∴∠DBC=∠BCD=45°,
∴△BDC为等腰直角三角形,
∴BC=
2DC,
又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM,
而∠DCM=∠BCD+∠BCM,
∴∠DMC=∠DCM,
∴DC=DM,
∴BC=
2DM;
(2)作MF⊥BC于F,ME⊥AC于E,MH⊥AB于H,如图,
∵DM=5
2,
∴BC=
2DM=10,
而AB=8,
∴AC=
BC2-AB2=6,
设△ABC的内切圆半径为r,
∵点M为△ABC的内心,
∴MH=ME=MF=r,
∴四边形AHME为正方形,
∴AH=AE=r,则CE=CF=6-r,BH=BF=8-r,
而BF+FC=BC,
∴8-r+6-r=10,解得r=2,
∴MF=2,CF=6-2=4,
∵OC=5,
∴OF=5-4=1,
在Rt△OMF中,OM=
MF2+OF2=
5.
如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME
如图,△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于点D,CA是⊙O的切线,AE平分∠BAC交BC于点E,交CD于点F.
(2009•遂宁)如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD
如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,点D在AB上,以AD为直径的⊙O经过点E,且交AC于
(2012•井研县模拟)如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D
如图,以BC为直径的圆O交△CFB的边CF于点A.BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME
(2014•沈阳)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD.
如图,点I为△ABC内心,AI交△ABC的外接圆O于D,DE‖BC,DE交AC的延长线于E
如图,已知点E在△ABC的边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D,且AD平分∠BAC.
如图,△ABC中,∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D,交BC于点G,过点D作EF∥BC,分别交AB、AC的
如图,已知△ABC,以BC为直径,点O为圆心的半圆交AC于点F.点E为弧CF的中点,连接BE交AC于点M,AD为△BAC
如图,点I为△ABC内心,AI交△ABC的外接圆O于D,DE‖BC,DE交AC的延长线于E 求证:AD²=AB