三角形内角和证明题讲解

三角形内角和证明题讲解

【基础知识精讲】
1．多边形的定义：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形．多边形有几条边就叫几边形．
多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的意义和四边形相同．
2．多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°．
证明：①在n边形内任取一点,并把这点与各顶点连接起来,共构成n个三角形,这n个三角形的内角和为n·180°,再减去一个周角360°,即得到多边形的内角和为(n-2)·180°．
②过n边形一个顶点连对角线,可以得(n-3)条对角线,并且将n边形分成(n-2)个三角形,这(n-2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和,等于(n-2)·180°．
③在n边形上取一点与各顶点相连,得(n-1)个三角形,n边形内角和等于这(n-1)个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角,即(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°．
以上推导方法体现了将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思路．
3．多边形外角与外角和定理
定义：在多边形的每一个顶点处取多边形一个外角,它们的和叫做多边形的外角和．
外角和定理：任意多边形的外角和等于360°．
证明：多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角,所以n边形内角和加外角和等于n·180°,外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°．
【重点难点解析】
除了要重点注意多边形的内角和、外角和定理的应用外,还要注意以下知识：
1．多边形的对角线
(1)从n边形的一个顶点,可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形．
(2)n边形共有 条对角线.
2．多边形边数与内、外角和的关系
(1)多边形内角和与边数成正比：边数增加,内角和增加；边数减少,内角和减少；每增加一条边,内角和增加180°,反过来也成立．
(2)多边形外角和恒等于360°,与边数多少无关．
A．重点、难点提示
1．掌握多边形的概念,探索并了解多边形的内角和与外角和公式；（这是本节的重点,要掌握好）
2．经历探索多边形的内角和与外角和公式的过程,进一步发展学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系；（这是重要的数学能力,要逐步培养）
3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识和能力．
B．考点指要
多边形的内角和与外角和公式是多边形的重要性质,也是中考的重要内容之一．
在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在多边形中,连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．多边形的边、顶点、内角、内角和的含义与三角形相同．
每一个n边形都可以分割成（n-2）个三角形,因此n边形的内角和等于(n-2)·180°．（掌握一般的分割方法）
在平面内内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形．
（注意从内角和边两个角度定义）
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和．
多边形的外角和都等于360°．
（注意：多边形的内角和随着边数的增加而增大,而外角和不随边数的变化而变化,保持不变）