对x^3*(1-x)^1/2求积分.它的原函数怎样求啊.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 18:15:19
对x^3*(1-x)^1/2求积分.它的原函数怎样求啊.
用换元法求:
令t=√(1-x),则x=1-t²,dx=-2tdt
原积分=∫(1-t²)³·t· (-2tdt)
=-2∫(1-t²)³·t²dt
=-2∫t²·(1-t^6+3t^4-3t²)dt
=-2∫(t²-t^8+3t^6-3t^4)dt
=-2(t³/3-t^9/9+3t^7/7-3t^5/5)+C
=-2t³/3+2t^9/9-6t^7/7+6t^5/5+C,C为常数
换回x:
原积分=-2[(1-x)^(3/2)]/3+2[(1-x)^(9/2)]/9-6[(1-x)^(7/2)]/7+6[(1-x)^(5/2)]/5+C
希望我的回答对你有所帮助
再问: 谢谢你哈,请问把原题改为x^3*(1-x^2)^1/2就不好用换元积分了,是不是呀……
再答: 这样就不用还原积分了:关键是将x³拆成x·x² 原积分=∫x·x²·√(1-x²)dx =1/2·∫x²√(1-x²)d(x²) =1/2∫(-x²)√(1-x²)d(1-x²) =1/2∫[(1-x²)-1]√(1-x²)d(1-x²) =1/2∫[(1-x²)^(3/2)-√(1-x²)]d(1-x²) =1/2[2(1-x²)^(5/2)/5-2(1-x²)^(3/2)/3]+C =(1-x²)^(5/2)/5-(1-x²)^(3/2)/3+C,C为常数
令t=√(1-x),则x=1-t²,dx=-2tdt
原积分=∫(1-t²)³·t· (-2tdt)
=-2∫(1-t²)³·t²dt
=-2∫t²·(1-t^6+3t^4-3t²)dt
=-2∫(t²-t^8+3t^6-3t^4)dt
=-2(t³/3-t^9/9+3t^7/7-3t^5/5)+C
=-2t³/3+2t^9/9-6t^7/7+6t^5/5+C,C为常数
换回x:
原积分=-2[(1-x)^(3/2)]/3+2[(1-x)^(9/2)]/9-6[(1-x)^(7/2)]/7+6[(1-x)^(5/2)]/5+C
希望我的回答对你有所帮助
再问: 谢谢你哈,请问把原题改为x^3*(1-x^2)^1/2就不好用换元积分了,是不是呀……
再答: 这样就不用还原积分了:关键是将x³拆成x·x² 原积分=∫x·x²·√(1-x²)dx =1/2·∫x²√(1-x²)d(x²) =1/2∫(-x²)√(1-x²)d(1-x²) =1/2∫[(1-x²)-1]√(1-x²)d(1-x²) =1/2∫[(1-x²)^(3/2)-√(1-x²)]d(1-x²) =1/2[2(1-x²)^(5/2)/5-2(1-x²)^(3/2)/3]+C =(1-x²)^(5/2)/5-(1-x²)^(3/2)/3+C,C为常数
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