神马作文网这个变上限积分求导的题,
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 17:29:48
这个变上限积分求导的题,
两边求导得：xf(x)=2x+f '(x) 这是微分方程
将x=0代入原式得：f(0)=0 这是初始条件
下面先解微分方程：f '(x)+xf(x)=-2x
这是一阶线性微分方程,代公式
f(x)=e^(-∫xdx)[∫ 2xe^(∫xdx)dx+C]
=e^(-x^2/2)[∫ 2xe^(x^2/2)dx+C]
=e^(-x^2/2)[∫ e^(x^2/2)d(x^2)+C]
=e^(-x^2/2)[2e^(x^2/2)+C]
将x=0代入得f(0)=2+C,得C=-2
f(x)=e^(-x^2/2)[2e^(x^2/2)-2]=2-2e^(-x^2/2)
将x=0代入原式得：f(0)=0 这是初始条件
下面先解微分方程：f '(x)+xf(x)=-2x
这是一阶线性微分方程,代公式
f(x)=e^(-∫xdx)[∫ 2xe^(∫xdx)dx+C]
=e^(-x^2/2)[∫ 2xe^(x^2/2)dx+C]
=e^(-x^2/2)[∫ e^(x^2/2)d(x^2)+C]
=e^(-x^2/2)[2e^(x^2/2)+C]
将x=0代入得f(0)=2+C,得C=-2
f(x)=e^(-x^2/2)[2e^(x^2/2)-2]=2-2e^(-x^2/2)