已知函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a(a,b,c∈R且a≠0),当x=-1时,f(x)取到极大值2.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/29 19:21:16
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a(a,b,c∈R且a≠0),当x=-1时,f(x)取到极大值2.
(1)用a分别表示b和c;
(2)当a=l时,求f(x)的极小值;
(3)求a的取值范围.
(1)用a分别表示b和c;
(2)当a=l时,求f(x)的极小值;
(3)求a的取值范围.
(1)∵函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a,∴f′(x)=3ax2 +2bx+c.
由题意可得
f(−1)=2
f′(−1)=0,即
−a+b−c−3a=2
3a−2b+c=0,解得
b=a+1
c=2−a.
(2)当a=l时,b=2,c=1,函数f(x)=x3 +2x2 +x-3,
令f′(x)=3x2 +4x+1=(3x+1)(x+1)=0,可得x=-1 x=-
1
3.
在(-∞,-1)、(-
1
3,+∞)上,f′(x)<0,在(-1,-
1
3)上f′(x)>0,
故当 x=-
1
3时,函数f(x)有极小值为f(-
1
3)=−
82
27.
(3)由(1)得f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a=3a(x+1)(x-
a−2
3−a),
令f′(x)=0解得x1=-1,x2=
由题意可得
f(−1)=2
f′(−1)=0,即
−a+b−c−3a=2
3a−2b+c=0,解得
b=a+1
c=2−a.
(2)当a=l时,b=2,c=1,函数f(x)=x3 +2x2 +x-3,
令f′(x)=3x2 +4x+1=(3x+1)(x+1)=0,可得x=-1 x=-
1
3.
在(-∞,-1)、(-
1
3,+∞)上,f′(x)<0,在(-1,-
1
3)上f′(x)>0,
故当 x=-
1
3时,函数f(x)有极小值为f(-
1
3)=−
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(3)由(1)得f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a=3a(x+1)(x-
a−2
3−a),
令f′(x)=0解得x1=-1,x2=
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