神马作文网平方根立方根的结果除了整数,无限循环小数,有无限循环小数吗?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 23:02:01
平方根立方根的结果除了整数,无限循环小数,有无限循环小数吗?
请本着准确的态度，并说明原因
请本着准确的态度，并说明原因
hangy20你好!
假设开方开不尽的数是无限循环小数或有限小数,读了高中你会知道：无限循环小数或有限小数都可以表示成分母分子都是整数的分数,也就是有理真分数,类似于1/2,3/11等.对于像2这样的开方开不尽的数,你觉得能找到一个有理真分数作他的平方根吗?根本不可能.因为有理真分数的平方仍是有理真分数,不会是整数.既然所有的无限循环小数或有限小数都不会是他的平方根.他的平方根只能是无限不循环小数了.
例如判断根号2的算术平方根是个无限不循环小数,则：
假定√2 = p/q,其中p、q为互质整数,则有
p^2 = 2*q^2 为偶数 .(1)
p^2为偶数,所以p必定是偶数,可以表达为p = 2k
由互质条件q就不能是偶数,只能是奇数.(2)
所以 p^2 = 4*k^2 = 2*q^2(考虑(1)式得到),所以 q^2 = 2*k^2 也应是偶数,与上述(2)矛盾.原假设不成立,所以√2不能表达成分数,自然不会是循环小数了.
假设开方开不尽的数是无限循环小数或有限小数,读了高中你会知道：无限循环小数或有限小数都可以表示成分母分子都是整数的分数,也就是有理真分数,类似于1/2,3/11等.对于像2这样的开方开不尽的数,你觉得能找到一个有理真分数作他的平方根吗?根本不可能.因为有理真分数的平方仍是有理真分数,不会是整数.既然所有的无限循环小数或有限小数都不会是他的平方根.他的平方根只能是无限不循环小数了.
例如判断根号2的算术平方根是个无限不循环小数,则：
假定√2 = p/q,其中p、q为互质整数,则有
p^2 = 2*q^2 为偶数 .(1)
p^2为偶数,所以p必定是偶数,可以表达为p = 2k
由互质条件q就不能是偶数,只能是奇数.(2)
所以 p^2 = 4*k^2 = 2*q^2(考虑(1)式得到),所以 q^2 = 2*k^2 也应是偶数,与上述(2)矛盾.原假设不成立,所以√2不能表达成分数,自然不会是循环小数了.