已知在△OMN中,OM=ON,∠MON=90°,点B为MN的延长线上一点,OC⊥OB,且OC=OB,OG⊥BC于G,交M
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 22:23:34
已知在△OMN中,OM=ON,∠MON=90°,点B为MN的延长线上一点,OC⊥OB,且OC=OB,OG⊥BC于G,交MN于点A.
(1)如图1,①求证:∠CMB=90°;
②求证:AM2+BN2=AB2.
(2)如图2,在条件(1)下,过A作AE⊥OM于E,过B作BF⊥ON于F,EA、BF的延长线交于点P,则PA、AE、BF之间的数量关系为______,△AME、△PAB、△BFN的面积之间的关系为______.
(3)如图3,在条件(2)下,分别以OM、ON为x轴和y轴建立坐标系,双曲线 经过点P,若 y=
(1)如图1,①求证:∠CMB=90°;
②求证:AM2+BN2=AB2.
(2)如图2,在条件(1)下,过A作AE⊥OM于E,过B作BF⊥ON于F,EA、BF的延长线交于点P,则PA、AE、BF之间的数量关系为______,△AME、△PAB、△BFN的面积之间的关系为______.
(3)如图3,在条件(2)下,分别以OM、ON为x轴和y轴建立坐标系,双曲线 经过点P,若 y=
k |
x |
(1)①证明:∵∠MON=∠BOC=90°,
∴∠MON-∠CON=∠COB-∠CON,即∠MOC=∠NOB,
在△MOC和△NOB中,
OM=ON
∠MOC=∠NOB
OC=OB,
∴△MOC≌△NOB(SAS),
∴∠MCO=∠NBO,
在△OBD中,∠ODB+∠NBO=90°,∠ODB=∠MDC,
∴∠MDC+∠MCO=90°,
则∠CMB=90°;
②证明:连接CA,如图所示,
由△MOC≌△NOB,得到BN=CM,
∵△COB为等腰直角三角形,OG⊥BC,
∴AB=AC,
在Rt△CMA中,利用勾股定理得:AM2+CM2=AC2,
∴AM2+BN2=AB2;
(2)∵△MON为等腰直角三角形,
∴∠M=45°,
∵AE⊥ON,BF⊥ON,
∴∠MAE=45°,∠B=∠FNB=45°,
∴△MEA和△NFB都为等腰直角三角形,
∴AE2=
1
2AM2,BF2=
1
2BN2,
∴AE2+BF2=
1
2(AM2+BN2)=
1
2AB2,
∵AP2=
1
2AB2,
∴AP2=AE2+BF2;
根据题意得:S△BFN+S△AME=S△PAB;
故答案为:AP2=AE2+BF2;S△BFN+S△AME=S△PAB;
(3)∵MN=2
2,△OMN为等腰直角三角形,
∴OM=ON=2,
设P(x,y),x>0,y>0,
则AE=ME=2-x,BF=y-2,PA=y-(2-x),
根据AP2=AE2+BF2,得到(x+y-2)2=(2-x)2+(y-2)2,
整理得:xy=2,
则k=xy=2.
∴∠MON-∠CON=∠COB-∠CON,即∠MOC=∠NOB,
在△MOC和△NOB中,
OM=ON
∠MOC=∠NOB
OC=OB,
∴△MOC≌△NOB(SAS),
∴∠MCO=∠NBO,
在△OBD中,∠ODB+∠NBO=90°,∠ODB=∠MDC,
∴∠MDC+∠MCO=90°,
则∠CMB=90°;
②证明:连接CA,如图所示,
由△MOC≌△NOB,得到BN=CM,
∵△COB为等腰直角三角形,OG⊥BC,
∴AB=AC,
在Rt△CMA中,利用勾股定理得:AM2+CM2=AC2,
∴AM2+BN2=AB2;
(2)∵△MON为等腰直角三角形,
∴∠M=45°,
∵AE⊥ON,BF⊥ON,
∴∠MAE=45°,∠B=∠FNB=45°,
∴△MEA和△NFB都为等腰直角三角形,
∴AE2=
1
2AM2,BF2=
1
2BN2,
∴AE2+BF2=
1
2(AM2+BN2)=
1
2AB2,
∵AP2=
1
2AB2,
∴AP2=AE2+BF2;
根据题意得:S△BFN+S△AME=S△PAB;
故答案为:AP2=AE2+BF2;S△BFN+S△AME=S△PAB;
(3)∵MN=2
2,△OMN为等腰直角三角形,
∴OM=ON=2,
设P(x,y),x>0,y>0,
则AE=ME=2-x,BF=y-2,PA=y-(2-x),
根据AP2=AE2+BF2,得到(x+y-2)2=(2-x)2+(y-2)2,
整理得:xy=2,
则k=xy=2.
有图已知在△OMN中OM=ON,∠MON=90°,点B为MN延长线上一点,OC⊥OB,且OC=OB,OG⊥BC于G交MN
已知:直线y=-x+m与坐标轴交于M、N两点,点B在NM的延长线上,OC⊥OB,且OC=OB,OG⊥BC于G交MN于点A
如图,在圆O中,半径OA⊥OB,C为AB的延长线上的一点,且OC=AB,OC交圆O于D点,则弧BD的度数为
如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB=6.C为OB上一点,射线CD⊥OB交AB于点D,OC=2.点P从点A出
如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB=6,C为OB上一点,射线CD⊥OB交AB于点D,OC=2.点P从点A出
如图 AB/BC/CD分别与圆o切于E、F、G 且AB∥CD 连接OB、OC 延长OC交圆o于点M,过点M作MN∥OB于
已知 AB,BC,CD,分别于圆O交于点E,F,G,且AB平行于CD,连接OB,OC,延长CO交圆O于点M,过点M作MN
如图,在∠MON的边OM,ON上分别取OA=OB,过A作ON⊥AC,过B作OM⊥BD,分别交ON,OM于点C、D,交点E
如图,OA、OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C是OB延长线上任意一点,过点C作CD切⊙O于点D,连接AD交OC于点
OA,OB是圆O的俩条半径且OA⊥OB,点C是OB延长线上任意一点,过点C作CD切圆O于点D,连AD交OC于点E求证:C
如图,在∠MON的边OM,ON上分别取OA=OB,过A作DA⊥OM于A,交ON于D,过B作EB⊥ON于B,交OM于E,设
如图所示,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点M、N分别为OB、OC的中点,则cos∠OMN的值为( )