设a,b,c,d都是实数,如果a^2+b^2=2 c^2+d^2=2 ac=bd 证明a^2+c^2=2 b^2+d^2
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 01:24:42
设a,b,c,d都是实数,如果a^2+b^2=2 c^2+d^2=2 ac=bd 证明a^2+c^2=2 b^2+d^2=2 ab=cd 反过来也成立
证明 [证充分必要条件],注意到恒等式:
(a^2+b^2-2)^2+( c^2+d^2-2)^2+2(ac-bd)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2(a^2*b^2+c^2*d^2+a^2*c^2+b^2*d^2)-4(a^2+b^2+c^2+d^2)-4abcd+8
=(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2
因为 a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd,则有
(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2=0,
由于a,b,c,d都是实数,故(a^2+c^2-2),( b^2+d^2-2),(ab-cd) 也都是实数.
从而得:a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd,反过来证明也一样.证毕.
(a^2+b^2-2)^2+( c^2+d^2-2)^2+2(ac-bd)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2(a^2*b^2+c^2*d^2+a^2*c^2+b^2*d^2)-4(a^2+b^2+c^2+d^2)-4abcd+8
=(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2
因为 a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd,则有
(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2=0,
由于a,b,c,d都是实数,故(a^2+c^2-2),( b^2+d^2-2),(ab-cd) 也都是实数.
从而得:a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd,反过来证明也一样.证毕.
已知实数a,b,c,d.求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2
已知a,b,c,d是实数且a>=b,c>=d,求证ac+bd>=1/2(a+b)(c+d)
设m>0,n>0,实数a,b,c,d,满足a+b+c+d=m,ac=bd=n^2,求证:(a+b)(b+c)(c+d)(
设a,b,c,d均为实数,M=|ac+bd|,N=√(a^2+b^2)(c^2+d^2)比较M、N的大小
已知a,b,c,d都是实数,且a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求证|ac+bd|
数学证明题求证 (ac-bd)^2>=(a^2-b^2)(c^2-d^2)
用柯西不等式证明实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3a²+2b²+3c²+6d&sup
已知实数a b c d满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=2,求ac+bd的最大值
已知四个实数a,b,c,d,且a≠b,c≠d,若a²+ac=2,b²+bc=2,c²+ac
已知a/b=c/d,求证a+2b/b=c+2d/d
设a,b,c,d是非零实数,且(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2,求证:a,
若实数a,b,c,d满足a^2-2Ina=b;3c+4=d,则a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd的最小值为