神马作文网高中数列解法,详细
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 19:37:48
高中数列解法,详细
数列的解法主要有这么几种：
求通项公式：
1.叠加法
通常是形如An-（An-1）=k的形势,其中后面的k要么是常数,要么就是可以求和的
例如：已知数列An,An-（An-1）=n,A1=1,求An；
就可以这么写：
A2 - A1= 2
A3 - A2= 3
……
An - An-1 =n
全部加起来,就得到An-A1=（2+3+……+n）,即可解出An.
这个办法的关键在于后面的k要可以求和.这里的2,3,4……是可以求和的.等比数列当然也可以,比如An - An-1 =2^n.
2.叠乘法
形如An / An-1 =k的递推公式可以用叠乘法,思路和上面一样,不过同样的,k要能够求积.
3.前项后项之间的线性关系
形如An = k【（An-1）】+b 的递推关系属于此类.解决方法是把它弄成一个等比数列.弄的办法是,把原式两遍加上m,使其满足：
An+m = k【（An-1）+（b+m）/k】
其中,（b+m）/k应该等于m （因为我们想要把它弄成等比数列）,解出m=b/（k-1）,然后的事情你就会了吧.先把数列An + m的通项公式搞定,然后减去m就可以了.
4.构造辅助数列
在高考范围内,这个一般不会太难,主要的思想是把递推公式中不好处理、带n的东西弄成常数,然后剩下的事情是自然的事.
例如：An= - An-1 + 3^n,A1=0,求通项公式
这里面我们就可以把烦人的3^n除下去,让它变成常数.
然后是 An/3^n = - An-1 /3^n +1
这时有个思想：An和n一拨,An-1 和 n-1 一拨.右边的An-1 和n一拨,这不对,所以乘一个1/3出来,得到：
An /3^n = -1/3（（An-1）/3^n+1）+1
看明白了吧,你不觉得眼熟吗?“前后项的线性关系”没错吧.按照那个思路,这道题就解决了.
其实一般的辅助数列他都给你造好了,那就更简单了.记住：只要在题目中看见“设Bn=……”,那么它再难也是简单题.原则就是一个：凑,方法是：看谁跟谁一拨.方法跟上面的一样.
求和主要就是列项和错位相减,列项适用于形如（1×2）分之1 + （2×3）分之1这样,可以对消掉中间项的分式；而错位相见适用于一个等差数列与一个等比数列的乘积数列.如An= n*(2^n）,就可以用错位相减.方法是：先写几项,然后乘上公比,做差,计算中间等比数列的和,整理答案.
例如求上面的数列前N项和：
Sn= 1×2 + 2×4 + 3×8 +……+ n×2^n
2Sn= 1×4 + 2×8 +……+ （n-1）×2^n + n×2^(n+1)
上减下：-Sn=2+（4+8+……+2^n）-n×2^（n+1）
把中间的等比数列之和求出来,题目即可解出.
求通项公式：
1.叠加法
通常是形如An-（An-1）=k的形势,其中后面的k要么是常数,要么就是可以求和的
例如：已知数列An,An-（An-1）=n,A1=1,求An；
就可以这么写：
A2 - A1= 2
A3 - A2= 3
……
An - An-1 =n
全部加起来,就得到An-A1=（2+3+……+n）,即可解出An.
这个办法的关键在于后面的k要可以求和.这里的2,3,4……是可以求和的.等比数列当然也可以,比如An - An-1 =2^n.
2.叠乘法
形如An / An-1 =k的递推公式可以用叠乘法,思路和上面一样,不过同样的,k要能够求积.
3.前项后项之间的线性关系
形如An = k【（An-1）】+b 的递推关系属于此类.解决方法是把它弄成一个等比数列.弄的办法是,把原式两遍加上m,使其满足：
An+m = k【（An-1）+（b+m）/k】
其中,（b+m）/k应该等于m （因为我们想要把它弄成等比数列）,解出m=b/（k-1）,然后的事情你就会了吧.先把数列An + m的通项公式搞定,然后减去m就可以了.
4.构造辅助数列
在高考范围内,这个一般不会太难,主要的思想是把递推公式中不好处理、带n的东西弄成常数,然后剩下的事情是自然的事.
例如：An= - An-1 + 3^n,A1=0,求通项公式
这里面我们就可以把烦人的3^n除下去,让它变成常数.
然后是 An/3^n = - An-1 /3^n +1
这时有个思想：An和n一拨,An-1 和 n-1 一拨.右边的An-1 和n一拨,这不对,所以乘一个1/3出来,得到：
An /3^n = -1/3（（An-1）/3^n+1）+1
看明白了吧,你不觉得眼熟吗?“前后项的线性关系”没错吧.按照那个思路,这道题就解决了.
其实一般的辅助数列他都给你造好了,那就更简单了.记住：只要在题目中看见“设Bn=……”,那么它再难也是简单题.原则就是一个：凑,方法是：看谁跟谁一拨.方法跟上面的一样.
求和主要就是列项和错位相减,列项适用于形如（1×2）分之1 + （2×3）分之1这样,可以对消掉中间项的分式；而错位相见适用于一个等差数列与一个等比数列的乘积数列.如An= n*(2^n）,就可以用错位相减.方法是：先写几项,然后乘上公比,做差,计算中间等比数列的和,整理答案.
例如求上面的数列前N项和：
Sn= 1×2 + 2×4 + 3×8 +……+ n×2^n
2Sn= 1×4 + 2×8 +……+ （n-1）×2^n + n×2^(n+1)
上减下：-Sn=2+（4+8+……+2^n）-n×2^（n+1）
把中间的等比数列之和求出来,题目即可解出.