神马作文网就是排列与组合这整一章，求分析方法
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 19:26:09
就是排列与组合这整一章，求分析方法
排列组合公式
排列定义 从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列.排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示.排列的个数用P(n,r)表示.当r=n时称为全排列.一般不说可重即无重.可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r).
组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合.
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C(n,r)表示,对应于可重组合
有记号C(n,r),C(n,r).
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于
(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力；
(2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；
(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
(4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力.
二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)
(2)乘法原理和分步计数法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同
例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合A为数字不重复的九位数的集合,S（A）=9!
集合B为数字不重复的六位数的集合.
把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元素构成一个子集.显然各子集没有共同元素.每个子集元素的个数,等于剩余的3个数的全排列,即3!
这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则
S（A）=S（B）*3!
S（B）=9!/3!
这就是我们用以前的方法求出的P（9,6）
例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?
设不同选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合.把集合B分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集,则每个子集都是某6个数的全排列,即每个子集有6!个元素.这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系,则
S（B）=S（C）*6!
S（C）=9!/3!/6!
这就是我们用以前的方法求出的C（9,6）
以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂.但是集合的观念才是排列组合公式的来源,也是对公式更深刻的认识.大家可能没有意识到,在我们平时数物品的数 量时,说1,2,3,4,5,一共有5个,这时我们就是在把物品的集合与集合（1,2,3,4,5）建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合（1, 2,3,4,5）的元素个数相等,所以我们才说物品共有5个.我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题.
例3：9个人坐成一圈,问不同坐法有多少种?
9个人排成一排,不同排法有9!种,对应集合为前面的集合A
9个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分.设集合D为坐成一圈的坐法的集合.以任何人为起点,把圈展开成直线,在集合A中都对应不同元素,但在集合D中相当于同一种坐法,所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素,所以S（D）=9!/9
我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其他人,结果为8!.这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系.用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系.
例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,但要求1排在2前面,求符合要求的九位数的个数.
集合A为9个数的全排列,把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前面,集合C中1排在2后面.则S（B）+S（C）=S（A）
在集合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字,对应集合C中相同数字.则这个对应关系为一一对应.因此S（B）=S（C）=9!/2
以同样的思路可解出下题：
从1、2、3…,9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数,且要求a>b>c,问这样的函数共有多少个?
例5：M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列.
这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说.
假设我们把M个球用细线连成一排,再用N-1把刀去砍断细线,就可以把M个球按顺序分为N组.则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法.而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起,就表示相应的盒子里球数为0）.所以方法总数为C（M+N-1,N-1）
例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有________排法.
甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为X1,X2,X3,X4,其中X1,X4》=0,X2,X3》0
先把其余4人看作一样,则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4的解的个数,令X2=Y2+1,X3=Y3+1
化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数,这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应,个数为C（5,3）=10
由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应4个人的全排列4!,所以不同排法共有C（5,3）*4!=240种.
排列定义 从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列.排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示.排列的个数用P(n,r)表示.当r=n时称为全排列.一般不说可重即无重.可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r).
组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合.
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C(n,r)表示,对应于可重组合
有记号C(n,r),C(n,r).
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于
(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力；
(2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；
(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
(4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力.
二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)
(2)乘法原理和分步计数法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同
例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合A为数字不重复的九位数的集合,S（A）=9!
集合B为数字不重复的六位数的集合.
把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元素构成一个子集.显然各子集没有共同元素.每个子集元素的个数,等于剩余的3个数的全排列,即3!
这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则
S（A）=S（B）*3!
S（B）=9!/3!
这就是我们用以前的方法求出的P（9,6）
例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?
设不同选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合.把集合B分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集,则每个子集都是某6个数的全排列,即每个子集有6!个元素.这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系,则
S（B）=S（C）*6!
S（C）=9!/3!/6!
这就是我们用以前的方法求出的C（9,6）
以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂.但是集合的观念才是排列组合公式的来源,也是对公式更深刻的认识.大家可能没有意识到,在我们平时数物品的数 量时,说1,2,3,4,5,一共有5个,这时我们就是在把物品的集合与集合（1,2,3,4,5）建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合（1, 2,3,4,5）的元素个数相等,所以我们才说物品共有5个.我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题.
例3：9个人坐成一圈,问不同坐法有多少种?
9个人排成一排,不同排法有9!种,对应集合为前面的集合A
9个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分.设集合D为坐成一圈的坐法的集合.以任何人为起点,把圈展开成直线,在集合A中都对应不同元素,但在集合D中相当于同一种坐法,所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素,所以S（D）=9!/9
我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其他人,结果为8!.这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系.用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系.
例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,但要求1排在2前面,求符合要求的九位数的个数.
集合A为9个数的全排列,把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前面,集合C中1排在2后面.则S（B）+S（C）=S（A）
在集合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字,对应集合C中相同数字.则这个对应关系为一一对应.因此S（B）=S（C）=9!/2
以同样的思路可解出下题：
从1、2、3…,9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数,且要求a>b>c,问这样的函数共有多少个?
例5：M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列.
这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说.
假设我们把M个球用细线连成一排,再用N-1把刀去砍断细线,就可以把M个球按顺序分为N组.则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法.而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起,就表示相应的盒子里球数为0）.所以方法总数为C（M+N-1,N-1）
例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有________排法.
甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为X1,X2,X3,X4,其中X1,X4》=0,X2,X3》0
先把其余4人看作一样,则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4的解的个数,令X2=Y2+1,X3=Y3+1
化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数,这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应,个数为C（5,3）=10
由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应4个人的全排列4!,所以不同排法共有C（5,3）*4!=240种.