已知函数f(x)=ln(1+x)-mx.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 21:25:43
已知函数f(x)=ln(1+x)-mx.
(Ⅰ)当m=1时,求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)若函数f(x)在区间[0,e2-1]上恰有两个零点,求m的取值范围.
(Ⅰ)当m=1时,求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)若函数f(x)在区间[0,e2-1]上恰有两个零点,求m的取值范围.
(I) 依题意,函数f(x)的定义域为(-1,+∞),
当m=1时,f(x)=ln(1+x)-x,∴f′(x)=
1
1+x-1…(2分)
由f'(x)<0得
1
1+x-1<0,即
-x
1+x<0,解得x>0或x<-1,
又∵x>-1,∴x>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,+∞). …(4分)
(II)求导数可得f′(x)=
1
1+x-m,(x>-1)
(1)m≤0时,f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值.…(6分)
(2)m>0时,由于
1
m-1>-1,所以f(x)在(-1,
1
m-1]上单调递增,在[
1
m-1, +∞)上单调递减,
从而f(x)极大值=f(
1
m-1)=m-lnm-1. …(9分)
(III)由(II)问显然可知,
当m≤0时,f(x)在区间[0,e2-1]上为增函数,∴在区间[0,e2-1]不可能恰有两个零点. …(10分)
当m>0时,由(II)问知f(x)极大值=f(
1
m-1),
又f(0)=0,∴0为f(x)的一个零点. …(11分)
∴若f(x)在[0,e2-1]恰有两个零点,只需
f(e2-1)≤0
0<
1
m-1<e2-1
即
2-m(e2-1)≤0
1
e2<m<1,
∴
2
e2-1≤m<1…(13分)
当m=1时,f(x)=ln(1+x)-x,∴f′(x)=
1
1+x-1…(2分)
由f'(x)<0得
1
1+x-1<0,即
-x
1+x<0,解得x>0或x<-1,
又∵x>-1,∴x>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,+∞). …(4分)
(II)求导数可得f′(x)=
1
1+x-m,(x>-1)
(1)m≤0时,f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值.…(6分)
(2)m>0时,由于
1
m-1>-1,所以f(x)在(-1,
1
m-1]上单调递增,在[
1
m-1, +∞)上单调递减,
从而f(x)极大值=f(
1
m-1)=m-lnm-1. …(9分)
(III)由(II)问显然可知,
当m≤0时,f(x)在区间[0,e2-1]上为增函数,∴在区间[0,e2-1]不可能恰有两个零点. …(10分)
当m>0时,由(II)问知f(x)极大值=f(
1
m-1),
又f(0)=0,∴0为f(x)的一个零点. …(11分)
∴若f(x)在[0,e2-1]恰有两个零点,只需
f(e2-1)≤0
0<
1
m-1<e2-1
即
2-m(e2-1)≤0
1
e2<m<1,
∴
2
e2-1≤m<1…(13分)
已知函数f(x)=ln(x+1)+mx,当x=0时,函数f(x)取得极大值.
已知函数f(x)=ln(x+1),
已知函数f(x)=mx
已知函数f(x)=ln(x+x
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.
已知函数f(x)=ln(1+x)-x1+x.
已知函数f(x)=ln(1+x)x.
已知函数f(x)=x^2-2x+ln[(1-x)/(1+x)]
已知函数f(x)=x+mx,且f(1)=2.
已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),(a不等于0且为R) 1.求函数f(x
已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
已知函数f(x)=ln[mx^2+(m-2)x+(m-1)] 的值域为R,则实数m的取值范围为