(2011•枣庄二模)已知函数f(x)=lnx-12ax2+bx(a>0),且f′(1)=0
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/22 00:57:59
(2011•枣庄二模)已知函数f(x)=lnx-
1 |
2 |
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f′(x)=
1
x−ax+b=0,
∴b=a-1,∴f′(x)=
1
x−ax+a−1=−
(ax+1)(x−1)
x,
当f′(x)>0时,得-
(ax+1)(x−1)
x>0,
∵x>0,a>0,解得0<x<1,
当f′(x)<0时,得-
(ax+1)(x−1)
x>0,∵x>0,a>0,解得x>1,
∴当f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(2)证明:g(a)=f(1)=
a
2−1,f′(x)=−
(ax+1)(x−1)
x(x>0),
令φ(a)=ln(1+
a
2)-
a
2,则φ′(a)=
−a
2(2+a)<0,
∴φ(a)在(0,+∞)上是减函数,
∴φ(a)<φ(0)=0,即ln(1+
a
2)-
a
2<0,
(3)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得AB存在“中值相依切线”,
则kAB=
y2−y1
x2−x1=
lnx2−lnx1
x2−x1−
a(x2+x1)
2+a-1,
f′(
x2+x1
2)=
2
x2+x1−
a(x2+x1)
2+a−1,
又kAB=f′(
x2+x1
2)得
lnx2−lnx1
x2−x1
∵f′(x)=
1
x−ax+b=0,
∴b=a-1,∴f′(x)=
1
x−ax+a−1=−
(ax+1)(x−1)
x,
当f′(x)>0时,得-
(ax+1)(x−1)
x>0,
∵x>0,a>0,解得0<x<1,
当f′(x)<0时,得-
(ax+1)(x−1)
x>0,∵x>0,a>0,解得x>1,
∴当f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(2)证明:g(a)=f(1)=
a
2−1,f′(x)=−
(ax+1)(x−1)
x(x>0),
令φ(a)=ln(1+
a
2)-
a
2,则φ′(a)=
−a
2(2+a)<0,
∴φ(a)在(0,+∞)上是减函数,
∴φ(a)<φ(0)=0,即ln(1+
a
2)-
a
2<0,
(3)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得AB存在“中值相依切线”,
则kAB=
y2−y1
x2−x1=
lnx2−lnx1
x2−x1−
a(x2+x1)
2+a-1,
f′(
x2+x1
2)=
2
x2+x1−
a(x2+x1)
2+a−1,
又kAB=f′(
x2+x1
2)得
lnx2−lnx1
x2−x1
(2012•蓝山县模拟)已知函数f(x)=lnx−12ax2+bx(a>0),且f′(1)=0.
已知函数f(x)=ax2+bx-lnx,a,b∈R.
已知函数f(x)=x-ax2-lnx(a>0).
(2012•枣庄二模)已知函数f(x)=x−ax(a∈R),g(x)=lnx.
已知函数f(x)=ax2(平方)+bx+1(a.b为实数),若f(-1)=0且函数f(x)的值域为[0,+&)(无穷大)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.且F(x)=f(
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),对任意实数x满足f(x+1)=f(1-x),且函数y=f(x)的零点有且只
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a不等于0)满足条件;f(2)=0且方程f(x)=x有等根,
已知函数f(x)=ax2-bx+1.
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x+1)=f(1-x)且方程f(x)=x有等根
(2014•杭州二模)设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),e为自然对数的底数.若f′(x)lnx>f(x)x