作业帮 > 数学 > 作业

证明:(f(x),g(x))=1的充分与必要条件是(f(x)+g(x)),f(x)g(x))=1

来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/27 17:30:11
证明:(f(x),g(x))=1的充分与必要条件是(f(x)+g(x)),f(x)g(x))=1
应该是吧
证明:(f(x),g(x))=1的充分与必要条件是(f(x)+g(x)),f(x)g(x))=1
f(x), g(x)是多项式吧.
充分性: 设f(x), g(x)有公因式d(x), 即有d(x)|f(x)与d(x)|g(x).
可得d(x)|(f(x)+g(x))与d(x)|f(x)g(x), 即d(x)也为(f(x)+g(x))与f(x)g(x)的公因式.
但(f(x)+g(x),f(x)g(x))=1, 所以d(x)只能为非零常数, 因此(f(x), g(x))=1.
必要性: 设f(x)+g(x)与f(x)g(x)有不可约的公因式d(x).
由d(x)|f(x)g(x), 又d(x)不可约, 有d(x)|f(x)或d(x)|g(x), 不妨设d(x)|f(x).
又d(x)|(f(x)+g(x)), 于是有d(x)|g(x), 故d(x)为f(x), g(x)的公因式.
但(f(x),g(x))=1, 所以d(x)只能为非零常数, 因此(f(x)+g(x),f(x)g(x))=1.
必要性证明用到多项式均可分解为不可约因子的乘积.
以及不可约元的素性(d|ab蕴涵d|a或d|b).
另外, 严格来说不可约元不包含可逆元, 所以必要性部分应该算反证法.
线性代数题 若(f(x),g(x))=1,证明(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1 函数f(x)是偶函数g(x)是奇函数且f(x)+g(x)=1/(x-1)求f(x)与g(x)的解析式 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=1/x+1.求f(x)与g(x)的解析式. 设f(x),g(x),h(x)都是多项式,若 (f(x),g(x))=1,证明(f(x)+g(x)h(x),g(x))= f(x)偶函数,g(x)奇函数 ,它们有相同的定义域 ,而且f(x)+g(x)=1/x-1,求f(x)与g(x)表达式 设函数f(x)=log2(-x),g(x)=x+1,F(x)={g(x),f(x)大于等于g(x);f(x),f(x)小 (1)设f (x)是偶函数,g (x)是奇函数,且f (x)+g(x)=1/X+1求函数f (x),g(x)的解析式 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,有f(x)+g(x)=1/(x+1),求f(x)和g(x)的表达式 若函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1/x-1,求f(x)和g(x)的解析式 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若f(x)+g(x)=lg(1+10的x次方)解方程f(x)+3g(x) 1.f(x).g(x)分别是R上的偶函数,奇函数,且f(x)-g(x)=1/(1-3x),求f(x).g(x) 设f(x),g(x)为数域f上的不全为零多项式.证明[f(x),g(x)]=[f(x),f(x)+g(x)]