怎么证明三角形的三高相交与同一点
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 05:49:06
怎么证明三角形的三高相交与同一点
怎么证明三角形的三高相交同一点
怎么证明三角形的三高相交同一点
已知:△ABC中,AD、BE、CF分别是高
求证:AD、BE、CF相交于一点
证明:过A、B、C分别作对边的平行线,两两相交于M、N、K
易知四边形ABCN、KBCA、ABMC都是平行四边形,
∴BC=AN、BC=KA,则KA=AN,即AD是KN的垂直平分线,
同理可得BE、CF分别是MK、MN的垂直平分线,
∵△MNK中,三边的垂直平分线AD、BE、CF相交于一点,
∴ABC中AD、BE、CF相交于一点,证毕.
又证:设BE、CF相交于O,作AO交BC于D
∵OE⊥AE、OF⊥AF,
∴A、E、O、F四点共圆,同理,B、C、E、F四点共圆,
∴∠FAO=∠FEO,∠FEO=∠OCD,
∴∠FAO=∠OCD,
∵∠FAO+∠FOA=Rt∠、∠FOA=∠DOC,
∴∠OCD+∠DOC=Rt∠,
∴AD⊥BC,即AD、BE、CF相交于一点,证毕.
求证:AD、BE、CF相交于一点
证明:过A、B、C分别作对边的平行线,两两相交于M、N、K
易知四边形ABCN、KBCA、ABMC都是平行四边形,
∴BC=AN、BC=KA,则KA=AN,即AD是KN的垂直平分线,
同理可得BE、CF分别是MK、MN的垂直平分线,
∵△MNK中,三边的垂直平分线AD、BE、CF相交于一点,
∴ABC中AD、BE、CF相交于一点,证毕.
又证:设BE、CF相交于O,作AO交BC于D
∵OE⊥AE、OF⊥AF,
∴A、E、O、F四点共圆,同理,B、C、E、F四点共圆,
∴∠FAO=∠FEO,∠FEO=∠OCD,
∴∠FAO=∠OCD,
∵∠FAO+∠FOA=Rt∠、∠FOA=∠DOC,
∴∠OCD+∠DOC=Rt∠,
∴AD⊥BC,即AD、BE、CF相交于一点,证毕.
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