如图，平面直角坐标系中，已知B（-3，0），C（3，0），点A（0，m）在y

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/13 08:15:42

如图，平面直角坐标系中，已知B（-3，0），C（3，0），点A（0，m）在y
轴正半轴上，P为线段OA上一动点（不与点A、O重合），BP交AC于点E、CP交AB于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）当m=4，BF=2AF时，求点F的坐标；
（3）以线段BE、CF、BC为边构成一个新△BCG（点E与F重合于点G），如果存在点P，恰使S_△BCG=S_△BCA，求m的取值范围．

（1）证明：∵B（-3，0），C（3，0），
∴OB=OC，
∴y轴是BC的垂直平分线，
又∵点A在y轴正半轴上，点P在线段OA上，
∴AB=AC，PB=PC，
∴∠ABC=∠ACB，∠PBC=∠PCB，
在△BCF和△CBE中，

∠ABC＝∠ACB
BC＝CB
∠PBC＝∠PCB，

∴△BCF≌△CBE（ASA），
∴BE=CF；

（2）如图，连接OF，
∵m=4，OB=3，
∴S_△AOB=
1
2×3×4=6，
∵BF=2AF，
∴S_△BOF=
2
1+2×6=4，S_△AOF=
1
1+2×6=2，
∴
1
2y_F•3=4，
1
2（-x_F）•4=2，
解得y_F=
8
3，x_F=-1，
∴点F的坐标为（-1，
8
3）；

（3）设∠BAC=α，
∵S_△BCG=S_△BCA，△BCG和△BCA都是等腰三角形，BC是公共边，
∴BE=BA，
∴∠BEA=∠BAE=α，
∴∠ACB=90°-∠OAC=90°-
1
2α，
在△ABE中，∠BEA+∠BAE=2α＜180°，
∴α＜90°，
在△BEC中，∠AEB＞∠ACB，
∴α＞90°-
1
2α，
解得α＞60°，
故60°＜α＜90°，
当α=60°时，△ABC是等边三角形，
∵OC=3，
∴m=AO=
3OC=3
3，
当α=90°时，△ABC是等腰直角三角形，
m=AO=OC=3，
∴m的取值范围是3＜m＜3