求解一道初等数论题求证当p大于3时 (p-1)![1+1/2+1/3+.+1/(p-1)]能被p的平方整除,p是质数
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 10:26:47
求解一道初等数论题
求证当p大于3时 (p-1)![1+1/2+1/3+.+1/(p-1)]能被p的平方整除,p是质数
求证当p大于3时 (p-1)![1+1/2+1/3+.+1/(p-1)]能被p的平方整除,p是质数
符号说明:
==指同余号≡.
a|:ba==0 mod bb|a
题:X=1+1/2+1/3+.+1/(p-1),求证(p-1)!X|:pp,p素>3
证:
X=(1+1/(p-1)) + (1/2+1/(p-2))+...+(...)
=p(1/(p-1)+1/(2(p-2))+...)
=p*Y
故只须证(p-1)!Y|:p
(p-1)!Y=sum(p-1)!/(i(p-i)),i=1,...,(p-1)/2
设 _i==(p-1)!/(i(p-i)) mod p (###)
由wilson定理:(p-1)!==-1 mod p
得 ii* _i==1 mod p
(这是ii是指i^2,_i见###式的指定)
依二次剩余相关理论,_i是p的二次剩余(易证,略)
并且,当i取遍1,2,...,(p-1)/2时,_i取遍p的二次剩余(易证,略).
显然二次剩余是成对的:
如果k是p的二次剩余,p-k必定也是.
从而:sum(_i)==sum(p的所有二次剩余)
==1+2^2+3^2+...+((p-1)/2)^2
=((p-1)/2)((p-1)/2+1)(2*((p-1)/2)+1)/6
=(p-1)/2*(p+1)/2*p/6
当p是6的约数,即p=2,3时,代入p值可得知上式不能被p整除.
在其他情况下,显然sum (_i)==0 mod p
从而原命题得证.
==指同余号≡.
a|:ba==0 mod bb|a
题:X=1+1/2+1/3+.+1/(p-1),求证(p-1)!X|:pp,p素>3
证:
X=(1+1/(p-1)) + (1/2+1/(p-2))+...+(...)
=p(1/(p-1)+1/(2(p-2))+...)
=p*Y
故只须证(p-1)!Y|:p
(p-1)!Y=sum(p-1)!/(i(p-i)),i=1,...,(p-1)/2
设 _i==(p-1)!/(i(p-i)) mod p (###)
由wilson定理:(p-1)!==-1 mod p
得 ii* _i==1 mod p
(这是ii是指i^2,_i见###式的指定)
依二次剩余相关理论,_i是p的二次剩余(易证,略)
并且,当i取遍1,2,...,(p-1)/2时,_i取遍p的二次剩余(易证,略).
显然二次剩余是成对的:
如果k是p的二次剩余,p-k必定也是.
从而:sum(_i)==sum(p的所有二次剩余)
==1+2^2+3^2+...+((p-1)/2)^2
=((p-1)/2)((p-1)/2+1)(2*((p-1)/2)+1)/6
=(p-1)/2*(p+1)/2*p/6
当p是6的约数,即p=2,3时,代入p值可得知上式不能被p整除.
在其他情况下,显然sum (_i)==0 mod p
从而原命题得证.
请证明:1111111111111111111.p个1组成的数减1能被p整除.p>3,p是质数.
若P和P+2都是大于3的质数,求证P+1为合数且被6整除
设p大于3,为质数,求证3能整除p的平方减1的差
设P是大于3的质数,证明P²-1能被24整除.
p是一个大于3的质数,证明p^2-1可以被24整除
设p是大于3的质数,求证:11p^2+1是12的倍数
若p是大于3的质数,证明24整除P²-1
已知p是素数 求证p整除(p-1)!+1
证明:如果p为质数且p>3,则数p^2-1可被24整除
P的平方+M的平方=N的平方,其中P味质数,M,N为自然数.求证:2(P+M+1)是完全平方数
设p与q是自然数,满足p /q=1-1/2+3-L-1/1318+1/1319.求证p可被质数1979整除。
如果P与P+2都是大于3的质数,那么请证明6是P+1的约数