三个矩阵题……我实在是做的头痛……1.n除方阵A满足A^m＝O (m为某个正整数),求了 En+A 和 En-A 的逆矩

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/14 09:53:06

三个矩阵题……
我实在是做的头痛……
1.n除方阵A满足A^m＝O (m为某个正整数),求了 En+A 和 En-A 的逆矩阵
2.A,B,C都是n阶方阵,证明ABC=En BCA=En CAB=En,并据此求出A^-1 、B^-1 、C^-1 三个值
3.A为n阶可逆矩阵,证：(A^-1)^* = (A^*)^-1 ；(A^T)^* = (A^*)^T
^ 后面的数值表示上标

1,由原条件得到 En-A^m=En,
(En-A)(En+A+A^2+.A^(m-1))=En
所以En-A的逆矩阵等于En+A+A^2+.A^(m-1)
同理也可以得到En+A^m=En
那么(En+A)(En-A+A^2-A^3+A^4.+(-1)^(m-1)*A^(m-1))=En
所以En+A的逆矩阵等于En-A+A^2-A^3+A^4.+(-1)^(m-1)*A^(m-1)
2,ABC=En 说明A可逆,其逆矩阵就等于BC;同时说明C也可逆,其逆矩阵就等于AB.
既然C可逆,那么等式两边同时右乘C^-1,得到：
AB=C^-1
上式两边同时左乘C,得到：
CAB=En 得证.
BCA=En 类似证法.
3,由于AA^-1=En,那么将等式两边都取转置：
(AA^-1)^*=En^*=En
(A^-1^*)(A^*)=En,根据可逆矩阵的定义就马上得到：
说明A^*^-1=A^-1^*
另外一个证明过程类似.

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