数学知识点。

1.关于直线方程的公式和知识点。 2.关于立体几何的知识点和重要内容。 3.函数的最大值与最小值问题，动轴定区间、定轴动区间、东轴动区间的问题解法。

解题思路： 要求太多，只能给出部分，其它重新发帖可好，需要牢记公式结论，多记多练
解题过程：
第1讲 第3章 §3.1.1 倾斜角与斜率 ¤知识要点：1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角的范围是. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题. ¤例题精讲： 【例2】已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 解： ∵ ， ∴，解得 或. 但当时，A、B重合，舍去． ∴． 【例3】已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 解: ， . ∵ A、B、C三点在一条直线上， ∴ ， 即， 解得或. 第2讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ¤知识要点：1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有： （1）Û；（2）Û. 2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；…. ¤例题精讲： 【例1】四边形ABCD的顶点为、、、，试判断四边形ABCD的形状. 解：AB边所在直线的斜率，CD边所在直线的斜率, BC边所在直线的斜率，DA边所在直线的斜率, ∵ ， ∴ AB//CD，BC//DA，即四边形ABCD为平行四边形.又 ∵ ，∴ AB⊥BC，即四边形ABCD为矩形. 【例2】已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标． 解：设顶点A的坐标为． ∵ ，∴ ， 即 ，化简为，解之得：. ∴　A的坐标为. 【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ （2）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？ 点评：当与的斜率存在时，，. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直. 第3讲 §3.2.1 直线的点斜式方程 ¤知识要点： 1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为. 2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为. 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线. ¤例题精讲： 【例1】写出下列点斜式直线方程： （1）经过点，斜率是4；　（2）经过点，倾斜角是. 【例2】已知直线.（1）求直线恒经过的定点；（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围. 解：（1）由，易知时，，所以直线恒经过的定点.（2）由题意得，解得. 【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程. 解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A₁（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A₁（－3，－4）关于y轴的对称点A₂（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，∴k==－2. 故所求直线方程为y－6=－2（x+2）， 即2x+y－2=0. 点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程． 解：由已知得与两坐标轴不垂直． ∵直线经过点，∴ 可设直线的方程为，即.则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.根据题意得，即. 当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，此方程无实数解. 故直线的方程为，或.即或. 点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距. 第4讲 §3.2.2 直线的两点式方程 ¤知识要点： 1. 两点式：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为. 3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线. 4. 线段中点坐标公式. ¤例题精讲： 【例1】已知△顶点为，求过点且将△面积平分的直线方程. 解：求出中点的坐标，则直线即为所求， 由直线方程的两点式得，即. 【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程 解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称. 所以A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3）. 由截距式，得 直线AB的方程：＝1，即3x－４y＋12＝0；直线BC的方程：＝1, 即3x＋４y－12＝0； 直线AD方程：＝1, 即3 x＋４y＋12＝0；直线CD方程：＝1即3 x－４y－12＝0. 第5讲 §3.2.3 直线的一般式方程 ¤知识要点： 1. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线. 2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为. 经过点，且平行于直线l的直线方程是； 经过点，且垂直于直线l的直线方程是. 3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）； （2）； （3）与重合； （4）与相交. 如果时，则；与重合；与相交. ¤例题精讲： 【例1】已知直线：，：，问m为何值时：（1）；（2）. 解：（1）时，，则，解得m＝0.（2）时，, 解得m＝1. 【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程. 解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式. （2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式. 【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程． 分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为， 又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即. 点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得. 第6讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标 ¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. 2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l₁: , l₂: . 解：解方程组，消y得 . 当时，方程组无解，所以两直线无公共点，//. 当时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l₁与l₂重合. 当且，方程组有惟一解，得到，， l₁与l₂相交. ∴当时，//；当时，l₁与l₂重合；当且，l₁与l₂相交，交点是. 【例2】求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程. 解：设所求直线的方程为，整理为. ∵ 平行于直线， ∴ ，解得.则所求直线方程为. 第7讲 §3.3.2 两点间的距离 ¤知识要点：1. 平面内两点，，则两点间的距离为：. 特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系. ¤例题精讲： 【例1】在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程. 解：∵ 点在直线上，∴ 可设，根据两点的距离公式得　,解得，∴．　∴ 直线PM的方程为，即. 【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值. 解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则 ，解得， 所以线段. 【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）. 解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系xOy. 设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0), 由两点间距离公式得： |AB|=，|AC|=， |AO|=， |OC|=c. ∴ |AB|＋|AC|=， |AO|＋|OC|=. ∴ |AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）. 第8讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离 ¤知识要点：1. 点到直线的距离公式为. 2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为. ¤例题精讲： 【例1】求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程. 解：设所求直线l的方程为, 整理得. 由点到直线的距离公式可知，, 解得. 代入所设，得到直线l的方程为. 【例2】在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离. 解：直线方程化为. 设, 则点P到直线的距离为 .当时，点到直线的距离最短，最短距离为. 【例3】求证直线L：与点的距离不等于3. 解：由点线距离公式，得=.假设，得到，整理得.∵ ， ∴ 无实根.∴ ，即直线L与点的距离不等于3. 点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m，但求解的结果是m无解. 从而假设不成立，即距离不等于3. 另解：把直线L：按参数m整理， 得.由，解得. 所以直线L恒过定点.点P到直线L取最大距离时, PQ⊥L，即最大距离是PQ==.∵ <3， ∴直线L与点的距离不等于3. 点评：此解妙在运用直线系恒过一个定点的知识，其定点就是与的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ⊥L时，点线距离为最大.