奇完全数的一般式证明任何奇完全数的形式必为p^(4a+1) * Q^2，这里P为奇素数，a为非负整数，Q为正整数。

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 10:24:29

奇完全数的一般式
证明任何奇完全数的形式必为p^(4a+1) * Q^2，这里P为奇素数，a为非负整数，Q为正整数。

这是一个著名的定理,欧拉证明的.
写的不完全,还有2个条件：p是4n+1型的奇素数,Q与p互质.
证明其实不难,就是写起来挺长.
设N为我们所说的奇完全数,N的质因数分解为：
N= p1^a1 * p2^a2 * ...* pn^an
我们记S(N)为N的所有因子之和,N为完全数,所以 S(N) = 2N
首先一个引理,很简单,自己想想就行：
S(N) = S(p1^a1) * S(p2^a^2) * ...* S(pn^an)
第1步：证明除了a1是奇数外,其它的指数a2,...,an都是偶数.
这样一来,后面的部分 p2^a2 * ...* pn^an 就是个完全平方数了,就可以把它当成Q^2
证明很简单.
因为S(N) = 2N,也就是说,S(N)能被2整除,但不能被4整除.
所以,根据引理,S(p1^a1),S(p2^a2),...,S(pn^an) 中只有1个是偶数,其它都是奇数.
设S(p1^a1) 是偶数,而其它的S(p2^a2),...,S(pn^an) 都是奇数.
考察 S(p^a)
S(p^a) = 1 + p + p^2 + ...+ p^a
等式右边一共a+1项,每一项都是奇数.
因为我们要 S(p^a) 是奇数,所以等式右边一定有奇数项,也就是 a 必须是偶数.
第1步证完了.
第2步：证明p1是4n+1型质数.
作为质数,p1只有2种选择：4n+1型,和4n+3型.
假设p1是4n+3型
为了简单,记p1为p,a1为a,省略脚标.
S(p1^a1) = S(p^a) = 1 + p + p^2 + ...+ p^a
第1项：1为4n+1型
第2项：p为4n+3型
第3项：p^2为4n+1型
第4项：p^3为4n+3型
...
可以看出,各项交替为4n+1型和4n+3型,所以相邻2项相加能被4整除.
所以,最后的和 S(p^a) 能被4整除.
矛盾——我们上面说过,它只能被2整除,不能被4整除.
第2步证完了.
第3步：证明a是4n+1型的.
S(p^a) = 1 + p + p^2 + ...+ p^a
由于p是4n+1型的,所以易证：等式右边每一项都是4n+1型的.
a是奇数,只有2种选择：4n+1型或者4n+3型.
假设a是4n+3型,那么等式右边一共有4n+4项.
4n+4个4n+1型奇数的和,又能被4整除了,所以又矛盾了.
所以,a只能也是4n+1型的.
终于全证完了.

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