如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），⊙M经过O、A两点，交x轴于点N．

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/09/20 05:29:23

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），⊙M经过O、A两点，交x轴于点N．
（1）如图1，若ON=3，设△AON的内心为I，过I作IB⊥AN于B，则AB-BN的值为______．
（2）如图2，若∠NAO=30°，在E在⊙M上，且△AOE为等边三角形，P为劣弧AE上一点，且∠EOP=45°，求OP-AP的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，将一块含30°角的三角板的60°角的顶点置于N点，角的两边分别交AE、AO与G、H．当此三角板任意旋转时，△AGH的周长是否变化？若变化，请说明理由，若不变，请证明并求出值．

解

：（1）作IC⊥OA于C，ID⊥ON于D，如图1，
∵点A的坐标为（0，4），
∴AO=4，
而ON=3，
∴AN=
OA2+ON2=5，
∵△AON的内心为I，设⊙I的半径为r，
∴IB=IC=ID=r，且B点、C点和D点为⊙I与△AON各边相切的切点，
∴OC=OD=r，AC=AB=4-r，NB=ND=3-r，
∴AN+NB=4-r+3-r=5，解得r=1，
∴AB=4-1=3，NB=3-1=2，
∴AB-BN=3-2=1．
故答案为1；

（2）在OP上截取OF=AP，作直径EQ，连结PC，如图2，
∵△AOE为等边三角形，
∴AE=OE，∠OAE=60°，
在△AEP和△OEF中

AP＝OF
∠PAE＝FOE
AE＝OE，
∴△AEP≌△OEF（SAS），
∴EP=EF，
而∠EPO=∠OAE=60°，
∴△EFP为等边三角形，
∴PF=PE，
∴OP-AP=OP-OF=PF=PE，
在Rt△PNO中，OA=4，∠NAO=30°，
∴ON=

3
3OA=
4
3
3，
∴AN=2ON=
8
3
3，
∵∠AON=90°，
∴AN为⊙M的直径，
∵∠PQE=∠EOP=45°，
而EQ为⊙M的直径，
∴∠EPQ=90°，
∴△PEQ为等腰直角三角形，
∴PE=