神马作文网常见线形算子范数的求法
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 00:43:29
常见线形算子范数的求法
增算子不动点的迭代求法及其应用
摘要:设E 是Banach 空间,本文在空间C[ I , E] 中得到了若干新的增算子不动点的
存在性定理及其不动点的迭代求法. 作为应用,我们研究了Banach 空间上非线性积
分方程最大解和最小解及其单调迭代方法.
关键词:空间;非线性积分方程;不动点;迭代方法
中图分类号:O175. 6 AMS( 2000) 主题分类:47H10 ;45N05
文献标识码:A 文章编号:100129847 (2005) 0120128208
1. 引言及预备工作
众所周知,增算子不动点的迭代求法在数学的许多领域,特别是计算非线性微分方程和积
分方程的解时有着极其重要和广泛的应用. 为研究增算子不动点和Banach 空间E 中非线性方
程的迭代求法,人们普遍使用了正规性条件、连续性条件和强紧性条件(例如文[125 ]) . 本文在
C[ I , E] 空间上给出了若干新的增算子不动点存在性定理以及这些不动点的迭代求法. 本文
定理不要求锥的正规性;用一种很弱的连续性条件代替了人们普遍使用的连续性条件;用比文
[1 ]中的逐点拟紧性条件还弱的逐点伪紧性条件代替了人们广泛使用的强紧性条件. 作为应
用,我们还研究了Banach 空间上非线性微分方程最大解和最小解及其迭代求法. 本文结果是
对已有结果的进一步完善和发展(例如文[127 ]) .
本文总假定( E , ‖·‖) 是Banach 空间, I = [ a , b ] < R1 ( b > a) . 对p ≥1 , 令Lp[ I , E]
= { u ( t) ∶I → E | u 强可测且∫I
‖u ( t) ‖pd t < + ∞} (关于强可测函数的讨论见[ 8 ]) ,则
Lp [ I , E] 在范数‖u ( t) ‖p = ∫I
‖u ( t) ‖pd t
1/ p
下为一Banach 空间. 令C[ I , E] = { u ( t) ∶
I → E | u ( t) 在I 上连续} , 则C[ I , E] 在范数‖u ( t) ‖C = max
t ∈I
‖u ( t) ‖下也是Banach 空
间. 设P 是E 中的锥,则P 在E 中导出一个半序≤; E 中的一个锥称为正规的,若存在常数λ
> 0 , 对任给x , y ∈ E , 当θ ≤x ≤y 时,有‖x ‖ ≤λ‖y ‖; 锥P 正规的充要条件是E 中任
何序区间[ x , y ] = { z ∈ E | x ≤z ≤y} 有界. 由E 中半序导出C[ I , E] 中半序如下: u ≤v ,
若u ( t) ≤v ( t) ( Pt ∈ I) ; 导出Lp [ I , E] 中半序如下: u ≤v , 若对几乎一切t ∈ I , 有u ( t)
摘要:设E 是Banach 空间,本文在空间C[ I , E] 中得到了若干新的增算子不动点的
存在性定理及其不动点的迭代求法. 作为应用,我们研究了Banach 空间上非线性积
分方程最大解和最小解及其单调迭代方法.
关键词:空间;非线性积分方程;不动点;迭代方法
中图分类号:O175. 6 AMS( 2000) 主题分类:47H10 ;45N05
文献标识码:A 文章编号:100129847 (2005) 0120128208
1. 引言及预备工作
众所周知,增算子不动点的迭代求法在数学的许多领域,特别是计算非线性微分方程和积
分方程的解时有着极其重要和广泛的应用. 为研究增算子不动点和Banach 空间E 中非线性方
程的迭代求法,人们普遍使用了正规性条件、连续性条件和强紧性条件(例如文[125 ]) . 本文在
C[ I , E] 空间上给出了若干新的增算子不动点存在性定理以及这些不动点的迭代求法. 本文
定理不要求锥的正规性;用一种很弱的连续性条件代替了人们普遍使用的连续性条件;用比文
[1 ]中的逐点拟紧性条件还弱的逐点伪紧性条件代替了人们广泛使用的强紧性条件. 作为应
用,我们还研究了Banach 空间上非线性微分方程最大解和最小解及其迭代求法. 本文结果是
对已有结果的进一步完善和发展(例如文[127 ]) .
本文总假定( E , ‖·‖) 是Banach 空间, I = [ a , b ] < R1 ( b > a) . 对p ≥1 , 令Lp[ I , E]
= { u ( t) ∶I → E | u 强可测且∫I
‖u ( t) ‖pd t < + ∞} (关于强可测函数的讨论见[ 8 ]) ,则
Lp [ I , E] 在范数‖u ( t) ‖p = ∫I
‖u ( t) ‖pd t
1/ p
下为一Banach 空间. 令C[ I , E] = { u ( t) ∶
I → E | u ( t) 在I 上连续} , 则C[ I , E] 在范数‖u ( t) ‖C = max
t ∈I
‖u ( t) ‖下也是Banach 空
间. 设P 是E 中的锥,则P 在E 中导出一个半序≤; E 中的一个锥称为正规的,若存在常数λ
> 0 , 对任给x , y ∈ E , 当θ ≤x ≤y 时,有‖x ‖ ≤λ‖y ‖; 锥P 正规的充要条件是E 中任
何序区间[ x , y ] = { z ∈ E | x ≤z ≤y} 有界. 由E 中半序导出C[ I , E] 中半序如下: u ≤v ,
若u ( t) ≤v ( t) ( Pt ∈ I) ; 导出Lp [ I , E] 中半序如下: u ≤v , 若对几乎一切t ∈ I , 有u ( t)
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