神马作文网坐等：求解高二解析几何题,关于双曲线的.
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 05:12:51
坐等：求解高二解析几何题,关于双曲线的.
曲线C是中心在原点,焦点为F（√5,0）的双曲线的右支,已知它的一条渐近线方程是y=1/2x.
（1）求曲线C的方程;
(2)已知点E（2,0）,若斜率为k的直线l与曲线C交于不同于E的P、Q两点,且 向量EP与向量EQ的数量积等于零,
求证：直线l过一定点,并求出定点坐标.
曲线C是中心在原点,焦点为F（√5,0）的双曲线的右支,已知它的一条渐近线方程是y=1/2x.
（1）求曲线C的方程;
(2)已知点E（2,0）,若斜率为k的直线l与曲线C交于不同于E的P、Q两点,且 向量EP与向量EQ的数量积等于零,
求证：直线l过一定点,并求出定点坐标.
1,
可知a^2+b^2=(√5)^2,b/a=1/2,所以a=2,b=1
所以方程为x^2/4 - y^2=1
2,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
（1）当l不平行于x轴时,
设l:x=ky+b(b≠2,因为若b=2,则l过E),将l与方程C联立,
得(k^2-4)y^2+2kby+b^2-4=0
若k=±2,则y只有一解,即直线与曲线只有一个交点（舍去）
若k≠±2,则y1y2=(b^2-4)/(k^2-4),y1+y2=-2kb/(k^2-4)
x1x2=(ky1+b)(ky2+b)=k^2y1y2+kb(y1+y2)+b^2=(-4k^2-4b^2)/(k^2-4)
x1+x2=(ky1+b)+(ky2+b)=k(y1+y2)+2b=(-8b)/(k^2-4)
若EP⊥EQ,则[y1/(x1-2)]*[y2/(x2-2)]=-1
即y1y1/[x1x2-2(x1+2)+4]=0,化简得(b^2-4)/[-4(b-2)^2]=-1
由于b≠2,得b=10/3
所以x=ky+10/3,所以必过（10/3,0）
（2）当l平行于x轴时,
设y=m,（m≠0）则P(2√(m^2+1),m)Q(-2√(m^2+1),m)
若EP⊥EQ,则m/(2√(m^2+1)-2)*m/(-2√(m^2+1)-2)=-1
m不存在,即l不可能平行于x轴
综上：所有符合条件的直线l均过一定点,该定点坐标为（10/3,0）
（老兄加点分吧,这道题目做出来还真不容易）
可知a^2+b^2=(√5)^2,b/a=1/2,所以a=2,b=1
所以方程为x^2/4 - y^2=1
2,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
（1）当l不平行于x轴时,
设l:x=ky+b(b≠2,因为若b=2,则l过E),将l与方程C联立,
得(k^2-4)y^2+2kby+b^2-4=0
若k=±2,则y只有一解,即直线与曲线只有一个交点（舍去）
若k≠±2,则y1y2=(b^2-4)/(k^2-4),y1+y2=-2kb/(k^2-4)
x1x2=(ky1+b)(ky2+b)=k^2y1y2+kb(y1+y2)+b^2=(-4k^2-4b^2)/(k^2-4)
x1+x2=(ky1+b)+(ky2+b)=k(y1+y2)+2b=(-8b)/(k^2-4)
若EP⊥EQ,则[y1/(x1-2)]*[y2/(x2-2)]=-1
即y1y1/[x1x2-2(x1+2)+4]=0,化简得(b^2-4)/[-4(b-2)^2]=-1
由于b≠2,得b=10/3
所以x=ky+10/3,所以必过（10/3,0）
（2）当l平行于x轴时,
设y=m,（m≠0）则P(2√(m^2+1),m)Q(-2√(m^2+1),m)
若EP⊥EQ,则m/(2√(m^2+1)-2)*m/(-2√(m^2+1)-2)=-1
m不存在,即l不可能平行于x轴
综上：所有符合条件的直线l均过一定点,该定点坐标为（10/3,0）
（老兄加点分吧,这道题目做出来还真不容易）