（2014•莆田质检）如图，△ABC中，∠C=90°，O点在AC边上，以O为圆心，OC为半径的圆与AC的另一个交点为D，

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/18 16:00:59

（2014•莆田质检）如图，△ABC中，∠C=90°，O点在AC边上，以O为圆心，OC为半径的圆与AC的另一个交点为D，AE⊥BO的延长线于E点，且AE²=OE•BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠BAC=

（1）证明：作OH⊥AB于H，如图，
∵AE²=OE•BE，
∴AE：OE=BE：AE，
而∠AEO=∠BEA，

∴△EAO∽△EBA，
∴∠1=∠2，
∵∠4=∠5，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，即OB为∠ABC的平分线，
∴OC=OH，
∴AB是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，tan∠BAC=
BC
AC=
3
4，
而BC=6，
∴AC=8，
∴AB=
AC2+BC2=10，
∵BH和BC都是⊙O的切线，
∴BC=BH=6，
∴AH=AB-BH=4，
在Rt△AHO中，tan∠HAO=
OH
AH=
3
4，
∴OH=3，
∴OC=3，
∴AO=AC-OC=5，
在△OBC中，OB=
BC2+OC2=
62+32=3
5，
∵∠1=∠3，
∴Rt△OAE∽Rt△OBC，
∴
AE
BC=
OA
OB，即
AE
6=
5
3
5，
∴AE=2