两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形最小面积
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/09 10:28:22
两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形最小面积
两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形,是不是都在两直线斜率为1和-1的时候面积最小?(椭圆不分的焦点在x轴和y轴,只要是椭圆,对称中心为原点),这是找规律,看成不成立
两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形,是不是都在两直线斜率为1和-1的时候面积最小?(椭圆不分的焦点在x轴和y轴,只要是椭圆,对称中心为原点),这是找规律,看成不成立
直线y=kx与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于点A,C,
把①代入②,b^2x^2+a^2k^2x^2=a^2b^2,x^2=a^2b^2/(b^2+a^2k^2),
x=土ab/√(b^2+a^2k^2),
∴|AC|=2ab√[(1+k^2)/(b^2+a^2k^2),
同理,直线y=-x/k与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于点B,D,
|BD|=2ab√[(1+1/k^2)/(b^2+a^2/k^2)=2ab√[(k^2+1)/(b^2k^2+a^2)],
∴S(ABCD)=4a^2b^2(k^2+1)/√[(b^2+a^2k^2)(b^2k^2+a^2)]
设u=k^2,f(u)=(u+1)/√[(b^2+a^2u)(b^2u+a^2)]=(u+1)/√[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2],u>=0,
由f'(u)=[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2]^(-1/2)-(1/2)(u+1)[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2]^(-3/2)*(2a^2b^2u+a^4+b^4)=0,得
a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2=(1/2)(u+1)(2a^2b^2u+a^4+b^4),
∴(a^4+b^4-2a^2b^2)u=a^4+b^4-2a^2b^2,
∴u=1,即f(u)的最小值=f(1).这时k^2=1,k=土1,您的看法正确.
把①代入②,b^2x^2+a^2k^2x^2=a^2b^2,x^2=a^2b^2/(b^2+a^2k^2),
x=土ab/√(b^2+a^2k^2),
∴|AC|=2ab√[(1+k^2)/(b^2+a^2k^2),
同理,直线y=-x/k与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于点B,D,
|BD|=2ab√[(1+1/k^2)/(b^2+a^2/k^2)=2ab√[(k^2+1)/(b^2k^2+a^2)],
∴S(ABCD)=4a^2b^2(k^2+1)/√[(b^2+a^2k^2)(b^2k^2+a^2)]
设u=k^2,f(u)=(u+1)/√[(b^2+a^2u)(b^2u+a^2)]=(u+1)/√[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2],u>=0,
由f'(u)=[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2]^(-1/2)-(1/2)(u+1)[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2]^(-3/2)*(2a^2b^2u+a^4+b^4)=0,得
a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2=(1/2)(u+1)(2a^2b^2u+a^4+b^4),
∴(a^4+b^4-2a^2b^2)u=a^4+b^4-2a^2b^2,
∴u=1,即f(u)的最小值=f(1).这时k^2=1,k=土1,您的看法正确.
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过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD最小面积,答案是8\
(原题:过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD最小面积是多
过原点OI作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A,C与B,D,则四边形ABCD的面积最小值为?
过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为
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