它的应用和举几个例题~

它的应用和举几个例题~

用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项
例:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1,求其通项公式.
由已知,an＋1＋2an=1,即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x）,则an=－2 an－1－3x,于是－3x=1,故x=－13
∴ an－13 =－2（an－1－13 ）
故{ an－13 }是公比q为－2,首项为an－13 =23 的等比数列
∴an－13 =23 （－2）n－1=1－（－2）n3
评注：一般地,当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x,则有
（A－1）x=B知x=BA－1 ,从而an＋BA－1 =A（an－1+BA－1 ）,于是数列{an＋BA－1 }是首项为a1+BA－1 、公比为A的等比数列,故an＋BA－1 =（a1+BA－1 ）An－1,从而
an=（a1+BA－1 ）An－1－BA－1 ；特别地,当A=0时{an}为等差数列；当A≠0,B=0时,数列{an}为等比数列.
推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式.
例:数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2）,求an.
令an＋x•13n=2（an＋x•13n-1）则an=2an－1+ 2x•13n-1－x•13n=53 x•13n-1=5x•13n
而由已知an=2an－1＋13n故5x=1,则x=15 .故an＋15 •13n＝2（an－1＋15 •13n-1）
从而{an＋15 •13n}是公比为q=2、首项为a1＋15 •13=1615 的等比数列.
于是an＋15 •13n=1615 ×2n－1,则an=1615 ×2n－1－15 •13n=115 （2n+3－13n－1）
评注：一般情况,对条件an=Aan－1+f（n）而言,可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）],则有Ag（n－1）－g（n）=f（n）,从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列,再利用等比数列通项公式求出an.值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系.特别地,当f（n）=B（B为常数）时,就是前面叙述的例8型.
这种做法能否进一步推广呢?对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢?
我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）],展开得到
an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n）,从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n）,理论上讲,通过这个等式k（n）可以确定出来,但实际操作上,k（n）未必能轻易确定出来,请看下题：
数列{an}满足a1=1且an=n2nan－1+1n+1 ,求其通项公式.
在这种做法下得到n2nk（n－1）－k（n）=1n+1 ,显然,目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k（n）来.
通过Sn求an
例10：数列{an}满足an =5Sn－3,求an.
令n=1,有a1=5an－3,∴a1=34 .由于an =5Sn－3………①
则 an-1 =5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an
故an=－14 an-1,则{an}是公比为q=－14 、首项an=34 的等比数列,则an=34 （－14 ）n-1
评注：递推关系中含有Sn,通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式,具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系,再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n－1项和的关系,再根据新的递推关系求出通项公式