如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E.BD与CE相交于H,在BD上取一点M
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/05 10:31:44
如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E.BD与CE相交于H,在BD上取一点M,使BM=CH.
(1)求证:∠BOC=∠BHC;
(2)若OH=1,求MH的长.
(1)求证:∠BOC=∠BHC;
(2)若OH=1,求MH的长.
(1)证明:∵∠BAC=60°(已知),
∴∠BOC=2∠BAC=120°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半);
又∵∠BHC=∠DHE(对顶角相等),
∠DHE=360°-(90°+90°+∠BAC)=120°(四边形的内角和定理),
∴∠BOC=∠BHC;
(2)∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
又∠BOC=120°,
∴∠OBC=
1
2(180°-120°)=30°,而∠HBC=90°-∠BCA,
∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-(90°-∠BCA)=∠BCA-60°,
又∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-
1
2(180°-120°)=∠HCB-30°,但∠HCA=90°-∠BAC=90°-60°=30°
∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°
∴∠OBM=∠OCH;
∵已知BM=CH,OB=OC,
∴△BOM≌△COH.
∴OH=OM,且∠COH=∠BOM;
∴∠OHM=∠OMH,∠MOH=∠BOC=120°
∠OHM=
1
2(180°-120°)=30°.
在△OMH中作OP⊥MH,P为垂足,则
OP=
1
2OH,由勾股定理,得
(
1
2MH)2=OH2-OP2=OH2-(
1
2OH )2=
3
4,
∴MH=
3.
∴∠BOC=2∠BAC=120°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半);
又∵∠BHC=∠DHE(对顶角相等),
∠DHE=360°-(90°+90°+∠BAC)=120°(四边形的内角和定理),
∴∠BOC=∠BHC;
(2)∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
又∠BOC=120°,
∴∠OBC=
1
2(180°-120°)=30°,而∠HBC=90°-∠BCA,
∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-(90°-∠BCA)=∠BCA-60°,
又∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-
1
2(180°-120°)=∠HCB-30°,但∠HCA=90°-∠BAC=90°-60°=30°
∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°
∴∠OBM=∠OCH;
∵已知BM=CH,OB=OC,
∴△BOM≌△COH.
∴OH=OM,且∠COH=∠BOM;
∴∠OHM=∠OMH,∠MOH=∠BOC=120°
∠OHM=
1
2(180°-120°)=30°.
在△OMH中作OP⊥MH,P为垂足,则
OP=
1
2OH,由勾股定理,得
(
1
2MH)2=OH2-OP2=OH2-(
1
2OH )2=
3
4,
∴MH=
3.
已知:如图,在△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD与CE相交于点O,且BD=CE.求证:OB=OC
如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD与CE相交于点F,延长CE到点G,使CG=AB,若∠BCE=
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°AB=AC,BD平分∠ABC,与AC交于点D,CE⊥BD交BD的延长线与点E
如图,已知CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD、CE交于点O且AO平分∠BAC.
20..如图,已知在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于M点.求证:BM=CM.
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于点E.
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,若MN是经过点A的直线,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E,且BD=A
如图,已知∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上的一点,CE⊥BD,交BD于点E,AF⊥BD,交BD延长线于点F.若E
如图,在三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,CE相交于点F,求证AF平分∠BAC
如图,在三角形ABC中,AB=CD,∠A=90°,D是AC上一点,CE⊥BD于点E,且CE=二分之一BD.求证:BD平分
如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD
已知如图在△abc中,bd⊥ac,ce⊥ab,垂足分别为d,e,bd,ce相交于点o [1]∠a=50°,求∠boc [