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如图所示,f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,令g(x)=af(x)+b,并有关于函数g(x)的四个论

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/19 04:09:45
如图所示,f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,令g(x)=af(x)+b,并有关于函数g(x)的四个论断:
①若a>0,对于[-1,1]内的任意实数m,n(m<n),
g(n)−g(m)
n−m
>0
如图所示,f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,令g(x)=af(x)+b,并有关于函数g(x)的四个论
①由函数f(x)的图象可知:当x∈[-1,1]时,函数f(x)单调递增,
∴f′(x)≥0,(只有x=±1,0时取等号),对于[-1,1]内的任意实数m,n(m<n),
g(n)−g(m)
n−m=
af(n)+b−[af(m)+b]
n−m=
a(f(n)−f(m))
n−m.
由中值定理可得:∃ξ∈(-1,1),使得af′(ξ)=
a(f(n)−f(m))
n−m≥0,
∵a>0,∴
f(n)−f(m)
n−m≥0,而m<n,故等号不成立,∴
f(n)−f(m)
n−m>0.
②∵f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,∴f(-x)+f(x)=0.
∵函数g(x)是奇函数⇔g(-x)+g(x)=0(x∈[-c,c])⇔a[f(-x)+f(x)]+2b=0⇔2b=0⇔b=0.
因此函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0,正确;
③由函数f(x)的图象可知:当x∈[-c,-1)时,函数f(x)单调递减,
∴f′(x)<0;在x=-1时函数f(x)取得极小值,可得f′(-1)=0;当x∈(-1,1)时,函数f(x)单调递增,
∴f′(x)>0;在x=1时函数f(x)取得极大值,可得f′(1)=0;当x∈(1,c]时,函数f(x)单调递减,∴f′(x)<0.
当a≠0时,g(x)的导函数g′(x)=af′(x)必有两个零点;
当a=0时,对∀x∈[-c,c],都有g′(x)=0,此时有无数个零点.
因此③不正确.
④若a≥1,b<0,则方程g(x)=0化为f(x)=
−b
a>0,画出函数y=
−b
a.由图象可知:当
−b
a>f(−c)时,函数y=f(x)与y=
−b
a的图象至多有两个交点,因此方程g(x)=0必有3个实数根是错误的.
综上可知:只有①②正确.
故答案为:①②.