如图所示,f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,令g(x)=af(x)+b,并有关于函数g(x)的四个论
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/19 04:09:45
如图所示,f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,令g(x)=af(x)+b,并有关于函数g(x)的四个论断:
①若a>0,对于[-1,1]内的任意实数m,n(m<n),
>0
①若a>0,对于[-1,1]内的任意实数m,n(m<n),
g(n)−g(m) |
n−m |
①由函数f(x)的图象可知:当x∈[-1,1]时,函数f(x)单调递增,
∴f′(x)≥0,(只有x=±1,0时取等号),对于[-1,1]内的任意实数m,n(m<n),
g(n)−g(m)
n−m=
af(n)+b−[af(m)+b]
n−m=
a(f(n)−f(m))
n−m.
由中值定理可得:∃ξ∈(-1,1),使得af′(ξ)=
a(f(n)−f(m))
n−m≥0,
∵a>0,∴
f(n)−f(m)
n−m≥0,而m<n,故等号不成立,∴
f(n)−f(m)
n−m>0.
②∵f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,∴f(-x)+f(x)=0.
∵函数g(x)是奇函数⇔g(-x)+g(x)=0(x∈[-c,c])⇔a[f(-x)+f(x)]+2b=0⇔2b=0⇔b=0.
因此函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0,正确;
③由函数f(x)的图象可知:当x∈[-c,-1)时,函数f(x)单调递减,
∴f′(x)<0;在x=-1时函数f(x)取得极小值,可得f′(-1)=0;当x∈(-1,1)时,函数f(x)单调递增,
∴f′(x)>0;在x=1时函数f(x)取得极大值,可得f′(1)=0;当x∈(1,c]时,函数f(x)单调递减,∴f′(x)<0.
当a≠0时,g(x)的导函数g′(x)=af′(x)必有两个零点;
当a=0时,对∀x∈[-c,c],都有g′(x)=0,此时有无数个零点.
因此③不正确.
④若a≥1,b<0,则方程g(x)=0化为f(x)=
−b
a>0,画出函数y=
−b
a.由图象可知:当
−b
a>f(−c)时,函数y=f(x)与y=
−b
a的图象至多有两个交点,因此方程g(x)=0必有3个实数根是错误的.
综上可知:只有①②正确.
故答案为:①②.
∴f′(x)≥0,(只有x=±1,0时取等号),对于[-1,1]内的任意实数m,n(m<n),
g(n)−g(m)
n−m=
af(n)+b−[af(m)+b]
n−m=
a(f(n)−f(m))
n−m.
由中值定理可得:∃ξ∈(-1,1),使得af′(ξ)=
a(f(n)−f(m))
n−m≥0,
∵a>0,∴
f(n)−f(m)
n−m≥0,而m<n,故等号不成立,∴
f(n)−f(m)
n−m>0.
②∵f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,∴f(-x)+f(x)=0.
∵函数g(x)是奇函数⇔g(-x)+g(x)=0(x∈[-c,c])⇔a[f(-x)+f(x)]+2b=0⇔2b=0⇔b=0.
因此函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0,正确;
③由函数f(x)的图象可知:当x∈[-c,-1)时,函数f(x)单调递减,
∴f′(x)<0;在x=-1时函数f(x)取得极小值,可得f′(-1)=0;当x∈(-1,1)时,函数f(x)单调递增,
∴f′(x)>0;在x=1时函数f(x)取得极大值,可得f′(1)=0;当x∈(1,c]时,函数f(x)单调递减,∴f′(x)<0.
当a≠0时,g(x)的导函数g′(x)=af′(x)必有两个零点;
当a=0时,对∀x∈[-c,c],都有g′(x)=0,此时有无数个零点.
因此③不正确.
④若a≥1,b<0,则方程g(x)=0化为f(x)=
−b
a>0,画出函数y=
−b
a.由图象可知:当
−b
a>f(−c)时,函数y=f(x)与y=
−b
a的图象至多有两个交点,因此方程g(x)=0必有3个实数根是错误的.
综上可知:只有①②正确.
故答案为:①②.
哪位仁兄帮帮忙!f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图像如图所示,令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g
f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图像如图所示令g(x)=-f(x)+b,当-2
已知函数f(x)的定义域是R,且f(-x)=1/f(x)>0,若g(x)=f(x)+c(c为常数)在区间[a,b]上单调
设函数f(x)=x^3+bx^2+cx 已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数 求b、c的值
已知函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=1/f(x)大于0,若g(x)=f(x)+c(c为常数)在区间大于a小于b上
已知函数f(x)=|x|,g(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=x(x+1),则方程f(x)+g(x)=
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0
f(x)g(x)均是定义在非零实数集上的函数,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1/x^2-x+
若f(x),g(x)是定义在R上的函数,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=1/(x平方-x+1)
函数f(x)和g(x)都是R上的奇函数,H(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,正无穷)上有最大值5,则H(x)
若f(x),g(x)定义在R上的函数f(x)是奇函数g(x)是偶函数且f(x)+g(x)=1/(x²-x+1)
求 已知函数f(x)=(x+a)/x^2+bx+1是定义在[-1,c]上的奇函数`则f(1/2)*c