神马作文网求解一道线性代数正规直交基的问题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 06:33:46
求解一道线性代数正规直交基的问题
3次元空间R3的基(basis)a1,a2,a3存在,试写出正规直交基(orthonormal basis)n1,n2,n3,其中,a,b的内积为ab,||a||=根号下aa
并且n=a1/||a1||
ps:我发了很多数学题，我想知道大家遇到各类题目时候的思考过程和顺序，比如见到这类题第一步怎么想，怎么考虑，为什么这么考虑，能大概讲解一下思路那麽我想比单纯给个答案要好，授人以鱼不如授人以渔，我想这样也会方便其他很多看帖子的朋友们。
3次元空间R3的基(basis)a1,a2,a3存在,试写出正规直交基(orthonormal basis)n1,n2,n3,其中,a,b的内积为ab,||a||=根号下aa
并且n=a1/||a1||
ps:我发了很多数学题，我想知道大家遇到各类题目时候的思考过程和顺序，比如见到这类题第一步怎么想，怎么考虑，为什么这么考虑，能大概讲解一下思路那麽我想比单纯给个答案要好，授人以鱼不如授人以渔，我想这样也会方便其他很多看帖子的朋友们。
这个普遍做法是利用施密特正交化法则,先对其正交化,再单位化,但是有一个问题,该方法过程繁杂,公式难记,易出错,除非万不得已,我一般是不用这种方法的,具体有两种：
一：就是给了一到具体的题目,给了一个对称矩阵A,让你求一个正交阵P,使得P'*A*P=B（B是对角阵）,对于这种问题,只要把相同的特征值对应的特征向量正交化即可,具体一点说,一个3维矩阵,特征值2,2,3,你就先把3对应的特征向量a1写出来,再把2对应的随便写一个,例如a2,再设另一个向量是a3：（a,b,c）,那么a3*a2=0,a3*a1=0,a3也是（A-2E）*x=0的解,如此求出来的向量组已经正交,再单位化就可以了
二：对于一般情况,有a1,a2,a3,设b1=a1,b2=a1+n*a2,b1*b2=0可得出b2,同理可以求出b3,这样也可以对角化
以上两种方法是我个人长期经验总结,可能不易理解,我也很难说得特别清楚,但是却比施密特正交化法来的简单,希望你可以体会一下
一：就是给了一到具体的题目,给了一个对称矩阵A,让你求一个正交阵P,使得P'*A*P=B（B是对角阵）,对于这种问题,只要把相同的特征值对应的特征向量正交化即可,具体一点说,一个3维矩阵,特征值2,2,3,你就先把3对应的特征向量a1写出来,再把2对应的随便写一个,例如a2,再设另一个向量是a3：（a,b,c）,那么a3*a2=0,a3*a1=0,a3也是（A-2E）*x=0的解,如此求出来的向量组已经正交,再单位化就可以了
二：对于一般情况,有a1,a2,a3,设b1=a1,b2=a1+n*a2,b1*b2=0可得出b2,同理可以求出b3,这样也可以对角化
以上两种方法是我个人长期经验总结,可能不易理解,我也很难说得特别清楚,但是却比施密特正交化法来的简单,希望你可以体会一下