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来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 19:30:34
什么是燕尾定理？
解题思路： 燕尾定理
解题过程：
燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。
S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
编辑本段证法 证法1
下面的是第一种方法：利用合比性质
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD
同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD
利用分比性质，得
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD
即S△AOB：S△AOC=BD：CD
命题得证。
证法2
下面的是第二种方法：相似三角形法
证法1图
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE 证明：
如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；
过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD
∴MO：BD=NO：CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF
∴PO：BF=QO：AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）
∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE
∴MR：AE=PR：CE
∵MN∥BC，PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）
∴AE=CE
命题得证。
最终答案：略
解题过程：
燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。
S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
编辑本段证法 证法1
下面的是第一种方法：利用合比性质
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD
同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD
利用分比性质，得
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD
即S△AOB：S△AOC=BD：CD
命题得证。
证法2
下面的是第二种方法：相似三角形法
证法1图已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE 证明：
如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；
过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD
∴MO：BD=NO：CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF
∴PO：BF=QO：AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）
∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE
∴MR：AE=PR：CE
∵MN∥BC，PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）
∴AE=CE
命题得证。
最终答案：略