若用空间闭区域Ω的边界闭曲面∑（外侧）的曲面积分表示该域的体积V,则V=?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 19:17:35

若用空间闭区域Ω的边界闭曲面∑（外侧）的曲面积分表示该域的体积V,则V=?
如题

在该闭区域Ω任取一个平行于z轴,底面是dxdy的柱体,则该柱体体积为zdxdy.
不妨设该闭区域始终在一个卦限内.
则可以想象该闭区域可以分为两个部分,其中一部分表面∑1的法向量与z轴正向的夹角总是小于90°,就是这一部分表面∑1法向量总是朝上的；另外一部分表面∑2的法向量和z轴正向的夹角总是大于90°,即这一部分表面∑2法向量总是朝下的.
由第二类曲面积分的定义可知,沿整个∑对z在dxdy上积分可表示为：
∯(∑)zdxdy = ∯(∑1)zdxdy - ∯(∑2)zdxdy
第一个积分∯(∑1)zdxdy就是顶曲面为∑1的曲顶柱体的体积,而第二个积分∯(∑2)zdxdy是顶曲面为∑2的曲顶柱体的体积,且∑1在∑2正上方.
故由∑围成的闭区域Ω的体积为顶曲面为∑1的曲顶柱体体积减去顶曲面为∑2的曲顶柱体体积,就是∯(∑)zdxdy
同理可得V = ∯(∑)xdydz = ∯(∑)ydzdx = ∯(∑)zdxdy
其实还可以用高斯公式考虑：
F是矢量{P,Q,R}
∯(∑)(F·n)d∑ = ∫∫∫(Ω)(∇·F)dΩ
当∇·F = 1时,上式表示的就是Ω的体积
可构造F={0,0,z}使得∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 1
则(F·n)d∑ = 0dydz + 0dzdx + zdxdy
左边就是∯(∑)zdxdy,右边是V
同理F={0,y,0}或F={x,0,0}都可以满足∇·F = 1
同样可以得到V = ∯(∑)xdydz = ∯(∑)ydzdx = ∯(∑)zdxdy

设空间闭区域Ω由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0所围成，Σ为Ω的表面外侧，V为Ω的体积．证明：∯Σ 求曲面积分,其中S为椭球面的外侧.. 计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧. 如何画出曲面的边界? proe中怎么用边界混合后得到的曲面来移除该曲面某方向的材料利用高斯公式计算曲面积分（如图）,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧 ∫∫(x+2y+z)dxdy+yzdydz 其中 Σ为平面x+2y+z=6与坐标面所围成区域的边界曲面的外侧三重积分计算闭区域Ω的体积 Ω由曲面(x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2)^2 =ax所围成计算第二型曲面积分∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy,其中S是曲面|x|+|y|+|z|=1的外侧. 求曲面∫∫(x^2+y^2)ds的积分,∑是锥面z=✔(x^2+y^2)及平面z=1所围成的区域的整个边界带绝对值的三重积分∫∫∫ |z-x^2+y^2| dxdydz,（注意这里有绝对值）其中空间闭曲面由z=0,z=1及曲面曲面积分里的d(x,y)/d(u,v)是啥意思?