在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是双曲线G：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线G与
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/07 04:40:57
在平面直角坐标系xOy中，已知F
1，F
2分别是双曲线G：
| x
（Ⅰ）依题意得c=1，∴a2+b2=1，
∵双曲线过点（-
6
2，1），∴
3
2a2−
1
b2＝1，
∴a2＝b2＝
1
2，…（2分）
∴双曲线方程为x2−y2＝
1
2…（3分）
（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），l：y-y0=k（x-x0），
∴x2−(k(x−x0)+y0)2＝
1
2，代入双曲线方程得：(1−k2)x2+(2k2x0−2ky0)x−k2x02+2x0y0k−
1
2−y02＝0，
依题意得△=0，
∴(x02−
1
2)k2−2x0y0k+y02+
1
2＝0，
∴y02k2−2x0y0k+x02＝0，∴k＝
x0
y0…（6分）
∴k1＝
y0
x0+1，k2＝
y0
x0−1，
∴
1
kk1+
1
kk2=
y0
x0 （
x0+1
y0+
x0−1
y0）=2（定值）…（8分）
（Ⅲ）证明：kPF2＝
y0
x0−1，
∴kF2Q＝−
x0−1
y0，∴l：y＝
x0x−
1
2
y0…①，
F2Q：y＝−
x0−1
y0(x−1)…②，
由①②得
y＝
x0x−1/2
y0
y＝−
(x0−1)(x−1)
y0，
∴2x0x−x0−x+
1
2＝0，∴(x0−
1
2)(2x−1)＝0，
∵x0≠
1
2，∴2x-1=0，
∴点Q恒在定直线x＝
1
2上．…（13分）
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