神马作文网如何证明指数函数增长比多项式函数快?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/20 12:59:47
如何证明指数函数增长比多项式函数快?
我以前都回答过这个问题了.
求极限,反复用罗比达就是了.下面a>1.
lim (x趋于正无穷) [ p(n)x^n + p(n-1)x^(n-1) + .+ p(1)x + p0 ] / a^x
= lim (x趋于正无穷) [ np(n)x^(n-1) + (n-1)p(n-1)x^(n-2) + .+ p(1) ] / (a^x ln(a))
= lim (x趋于正无穷) [ n(n-1)p(n)x^(n-2) + (n-1)(n-2)p(n-1)x^(n-3) + .+ 2p(2) ] / [a^x ln(a)ln(a)]
= .
= lim (x趋于正无穷) n!x / [a^x (ln(a))^(n-1)]
= 0,证毕.用n次罗比达即可,最后多项式次数不断降低,而指数仍然保留在分母上,故极限为0.这就说明当x趋于正无穷大时指数比多项式速度快.
求极限,反复用罗比达就是了.下面a>1.
lim (x趋于正无穷) [ p(n)x^n + p(n-1)x^(n-1) + .+ p(1)x + p0 ] / a^x
= lim (x趋于正无穷) [ np(n)x^(n-1) + (n-1)p(n-1)x^(n-2) + .+ p(1) ] / (a^x ln(a))
= lim (x趋于正无穷) [ n(n-1)p(n)x^(n-2) + (n-1)(n-2)p(n-1)x^(n-3) + .+ 2p(2) ] / [a^x ln(a)ln(a)]
= .
= lim (x趋于正无穷) n!x / [a^x (ln(a))^(n-1)]
= 0,证毕.用n次罗比达即可,最后多项式次数不断降低,而指数仍然保留在分母上,故极限为0.这就说明当x趋于正无穷大时指数比多项式速度快.