已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体, 存在非零常数T, 对任意x∈R, 有f(x+T)=T
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 06:50:45
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体, 存在非零常数T, 对任意x∈R, 有f(x+T)=T f(x)成立. (1) 函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由; (2)设f(x)∈M, 且T=2, 已知当 时, f(x)=x+lnx, 求当 时, f(x)的解析式. (3)若函数 ,求实数k的取值范围. |
解: (1) 假设函数f(x)=x属于集合M,
则存在非零常数T, 对任意x∈R, 有 成立,
即: x+T=Tx成立.
令x=0, 则T=0, 与题矛盾.
故 .
(2) , 且T=2, 则对任意x∈R, 有 ,
设 , 则 ,
当 时, ,
故当 时, .
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,
所以存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立,
即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立,只有T= ,
①当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ, m∈Z .
②当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx 成立,即sin(kx-k+π)= sinkx 成立,
则-k+π=2mπ, m∈Z ,即k=-(2m-1)π, m∈Z
综合得,实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z}
则存在非零常数T, 对任意x∈R, 有 成立,
即: x+T=Tx成立.
令x=0, 则T=0, 与题矛盾.
故 .
(2) , 且T=2, 则对任意x∈R, 有 ,
设 , 则 ,
当 时, ,
故当 时, .
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,
所以存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立,
即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立,只有T= ,
①当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ, m∈Z .
②当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx 成立,即sin(kx-k+π)= sinkx 成立,
则-k+π=2mπ, m∈Z ,即k=-(2m-1)π, m∈Z
综合得,实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z}
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有
1:已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对于任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.试判断
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意实数x∈R+,f(Tx)=T+f(x)
已知M是满足下列性质的函数的集合体,存在非零常数T,对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立
已知集合M是满足下列性质的函数fx的全体:存在常数T>0,对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
50.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D(D为函
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D,等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.
已知M是满足下列性质的函数的集合体,存在常数T>0,对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立