神马作文网一道抛物线上动点的问题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 17:50:16
一道抛物线上动点的问题
如图,已知点P是抛物线y=1/2(x2+x)上的任意一点,记点P到直线y=-5/8距离为d1,点P与点F（-1/2,3/8)的距离为d2.（1）证明：d1=d2 （2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）,试判断以PQ为直径的圆与直线y=-5/8的位置关系,并说明理由.
图请高手自己画，补充的图做参考
如图,已知点P是抛物线y=1/2(x2+x)上的任意一点,记点P到直线y=-5/8距离为d1,点P与点F（-1/2,3/8)的距离为d2.（1）证明：d1=d2 （2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）,试判断以PQ为直径的圆与直线y=-5/8的位置关系,并说明理由.
图请高手自己画，补充的图做参考
1) 设P的坐标(a,b), b=1/2(a^2+a), a^2+a=2b
P到直线y=-5/8的距离为: b+5/8, (b的最小值是-1/8,因而b+5/8一定>0)
P到F的距离的平方=(a+1/2)^2+(b-3/8)^2=a^2+a+1/4+b^2-3b/4+9/64
=2b+1/4+b^2-3b/4+9/64=b^2+5b/4+25/64=(b+5/8)^2
所以P到F的距离=b+5/8
所以d1=d2
2) 相切的.证明如下
设Q到直线y=-5/8的距离是d3,Q到F点的距离是d4.
因为Q也是在此抛物线上,所以d3=d4
PQ的距离=d2+d4, 以PQ为直径的圆的半径=(d2+d4)/2
设PQ的中点为M, 从P,Q,M分别向直线y=-5/8,作垂线,垂足是P1,M1,Q1,显然MM1是直角梯形PP1Q1Q的中位线,MM1=(d1+d3)/2=(d2+d4)/2
所以MM1=圆的半径
所以相切.
P到直线y=-5/8的距离为: b+5/8, (b的最小值是-1/8,因而b+5/8一定>0)
P到F的距离的平方=(a+1/2)^2+(b-3/8)^2=a^2+a+1/4+b^2-3b/4+9/64
=2b+1/4+b^2-3b/4+9/64=b^2+5b/4+25/64=(b+5/8)^2
所以P到F的距离=b+5/8
所以d1=d2
2) 相切的.证明如下
设Q到直线y=-5/8的距离是d3,Q到F点的距离是d4.
因为Q也是在此抛物线上,所以d3=d4
PQ的距离=d2+d4, 以PQ为直径的圆的半径=(d2+d4)/2
设PQ的中点为M, 从P,Q,M分别向直线y=-5/8,作垂线,垂足是P1,M1,Q1,显然MM1是直角梯形PP1Q1Q的中位线,MM1=(d1+d3)/2=(d2+d4)/2
所以MM1=圆的半径
所以相切.