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设f(x)满足f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx(|x|≤二分之π) 求f(x)的表达式

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/19 05:03:30
设f(x)满足f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx(|x|≤二分之π) 求f(x)的表达式
设f(x)满足f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx(|x|≤二分之π) 求f(x)的表达式
f(x)满足
f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx(|x|≤二分之π) (1)
将x换成-x,等式仍然成立,那么
f[-sin(-x)]+3f[sin(-x)]=4sin(-x)cos(-x)
即f(sinx)+3f(-sinx)=-4sinxcosx(|x|≤二分之π) (2)
(1)*3-(2):
8f(sinx)=16sinxcosx
因为|x|≤二分之π,cosx≥0
所以cosx=√(1-sin²x)
∴f(sinx)=2sinx√(1-sin²x) 【sinx∈[-1,1]
∴f(x)=2x√(1-x²) 【x∈[-1,1】
再问: 为什么换成-x之后依然成立?
再答: f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx(|x|≤二分之π) 对任意的x∈[-π/2,π/2]均成立,而-x∈[-π/2,π/2], 因此对-x也成立。