如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右准线l1与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/13 19:03:33
如图，已知双曲线C：
| x
证明：（I）∵右准线l1：x＝
a2
c，渐近线l2：y＝
b
ax，
∴M(
a2
c，
ab
c)，
∵F（c，0），c2=a2+b2，
∴
OM=(
a2
c，
ab
c)，
MF＝(c−
a2
c，−
ab
c)＝(
b2
c，−
ab
c)，
∵
OM•
MF＝
a2b2
c2−
a2b2
c2＝0，
∴
OM⊥
MF…（3分）
（II）∵e＝
6
2，
∴
b
a＝
e2−1＝
2
2，
∴a2=2b2，
∵|
MF|=1，
∴
b4
c2+
a2b2
c2＝1，
∴
b2(b2+a2)
c2＝1
∴双曲线C的方程为：
x2
2−y2＝1…（7分）
（III）由题意可得0＜λ＜1…（8分）
证明：设l3：y=kx+1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）
由
x2−2y2＝2
y＝kx+1得（1-2k2）x2-4kx+4=0∵l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
∴
1−2k2≠0
△＝16k2+16(1−2k2)＞0
x1+x2＝
4k
1−2k2＞0
x1x2＝−
4
1−2k2＞0 ∴
k≠±
2
2
k2＜1
k＜0
1−2k2＜0，
∴−1＜k＜−
2
2…（11分）
∵
AP＝λ
AQ，
∴（x1，y1-1）=λ（x2，y2-1），得x1=λx2
∴(1+λ)x2＝
4k
1−2k2，λ
x22＝−
4
1−2k2
∴
(1+λ)2
λ＝
16k2
−4(1−2k2)＝
4k2
2k2−1＝2+
2
2k2−1
∵−1＜k＜−
2
2，
∴0＜2k2-1＜1，
∴
(1+λ)2
λ＞4，
∴（1+λ）2＞4λ，
∴λ2-2λ+1＞0
∴λ的取值范围是（0，1）…（13分）
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