神马作文网设n维复矩阵A是正规矩阵（即A^{*}乘A=A乘A^{*},A^{*}是A的共轭转置）,证明全空间=Ker(A)直和Im
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 12:17:17
设n维复矩阵A是正规矩阵（即A^{*}乘A=A乘A^{*},A^{*}是A的共轭转置）,证明全空间=Ker(A)直和Im(A).
大学高等代数，
大学高等代数，
把A酉对角化之后就显然了
再问： 绕到酉相似用了大定理。相当于是个应用。我想问从直和定义出发，怎么证明。（看书的时候遇到的课后习题，想更多地了解一下直和 知识，非常感谢你的帮助！）
再答： 谱分解定理是正规矩阵的基本性质，这种方法需要优先掌握。
当然，不做对角化肯定也是可行的。
首先看到 Ax=0 A^*Ax=0 x^*A^*Ax=0 x^*AA^*x=0 AA^*x=0 A*x=0，这样就得到Ker(A)=Ker(A^*)=Ker(AA^*)=Ker(A^*A), 再考察空间的维数可以知道Im(A)=Im(AA^*), Im(A^*)=Im(A^*A).
然后证明C^n=Ker(A)+Im(A): 任取C^n中的向量x，A^*x∈Im(A^*)=Im(A^*A)，所以存在y使得A^*x=A^*Ay，再令z=x-Ay，那么A^*z=0 => Az=0，这样就得到了拆分x=Ay+z，Ay∈Im(A)，z∈Ker(A).
要进一步证明直和就容易了，比如说验证Ker(A)和Im(A)的交集是{0}，或者用维数dim Ker(A)+dim Im(A)=n。
再问： 绕到酉相似用了大定理。相当于是个应用。我想问从直和定义出发，怎么证明。（看书的时候遇到的课后习题，想更多地了解一下直和 知识，非常感谢你的帮助！）
再答： 谱分解定理是正规矩阵的基本性质，这种方法需要优先掌握。
当然，不做对角化肯定也是可行的。
首先看到 Ax=0 A^*Ax=0 x^*A^*Ax=0 x^*AA^*x=0 AA^*x=0 A*x=0，这样就得到Ker(A)=Ker(A^*)=Ker(AA^*)=Ker(A^*A), 再考察空间的维数可以知道Im(A)=Im(AA^*), Im(A^*)=Im(A^*A).
然后证明C^n=Ker(A)+Im(A): 任取C^n中的向量x，A^*x∈Im(A^*)=Im(A^*A)，所以存在y使得A^*x=A^*Ay，再令z=x-Ay，那么A^*z=0 => Az=0，这样就得到了拆分x=Ay+z，Ay∈Im(A)，z∈Ker(A).
要进一步证明直和就容易了，比如说验证Ker(A)和Im(A)的交集是{0}，或者用维数dim Ker(A)+dim Im(A)=n。
设A是m*n矩阵,证明A的秩等于其转置矩阵的秩,即r（A）=r（A'）
设A是实矩阵,证明：A转置乘A与A乘A转置的秩相同.
设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,证明|A*|=|A|n-1
设A是m*n的实矩阵,且rank(A)=n,证明A^T A是正定矩阵
设矩阵A是正规矩阵,且满足A的三次方=2A的两次方 证明：A的两次方=2A
设A是n阶非零实矩阵,且A*=AT,证明:A是可逆矩阵
证明：对任意m*n矩阵A,A的转置矩阵左乘A以及A左乘A的转置都是对称矩阵.
设矩阵A,B属于复数域上的n维矩阵,A,B可交换,即AB=BA,证明A的特征子空间一定是B的不变子空间
设A是n阶实对称矩阵,A^2=A,证明存在正交矩阵.
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明：|A*|=|A|^(n-1)
设A是m*n矩阵,B是m*s矩阵,证明矩阵方程A'AX=A'B一定有解（其中A'为A的转置矩阵）
设A为M乘N的矩阵,且A的秩R(A)=M