神马作文网6.1第一型曲面积分有问：
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 13:53:01
6.1第一型曲面积分有问：
考虑在第一挂限内所截得的球体曲面面积、x,y,z ≥ 0、在xy面上作积分
取Σ：z = √(a² - x² - y²)
z'x = - x/√(a² - x² - y²)、z'y = - y/√(a² - x² - y²)
√[1 + (z'x)² + (z'y)²] = √[1 + x²/(a² - x² - y²) + y²/(a² - x² - y²)] = a/√(a² - x² - y²)
取D：x² + y² ≤ ax ==> (x - a)² + y² ≤ a² ==> r ≤ acosθ with 0 ≤ θ ≤ π/2
所求面积 = 4 * 第一挂限内所截得的球体曲面面积
= 4 * ∫∫Σ √[1 + (z'x)² + (z'y)²] dxdy
= 4 * ∫∫D a/√(a² - x² - y²) dxdy
= 4a * ∫(0,π/2) dθ ∫(0,acosθ) 1/√(a² - r²) * r dr
= 4a * ∫(0,π/2) (- 1/2) * 2[√(a² - r²)：(0,acosθ)] dθ
= - 4a * ∫(0,π/2) [√(a² - a²cos²θ) - √(a² - 0)] dθ
= - 4a² * ∫(0,π/2) (sinθ - 1) dθ
= 4a² * (cosθ + θ)：(0,π/2)
= 2a²(π - 2)
取Σ：z = √(a² - x² - y²)
z'x = - x/√(a² - x² - y²)、z'y = - y/√(a² - x² - y²)
√[1 + (z'x)² + (z'y)²] = √[1 + x²/(a² - x² - y²) + y²/(a² - x² - y²)] = a/√(a² - x² - y²)
取D：x² + y² ≤ ax ==> (x - a)² + y² ≤ a² ==> r ≤ acosθ with 0 ≤ θ ≤ π/2
所求面积 = 4 * 第一挂限内所截得的球体曲面面积
= 4 * ∫∫Σ √[1 + (z'x)² + (z'y)²] dxdy
= 4 * ∫∫D a/√(a² - x² - y²) dxdy
= 4a * ∫(0,π/2) dθ ∫(0,acosθ) 1/√(a² - r²) * r dr
= 4a * ∫(0,π/2) (- 1/2) * 2[√(a² - r²)：(0,acosθ)] dθ
= - 4a * ∫(0,π/2) [√(a² - a²cos²θ) - √(a² - 0)] dθ
= - 4a² * ∫(0,π/2) (sinθ - 1) dθ
= 4a² * (cosθ + θ)：(0,π/2)
= 2a²(π - 2)