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在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线BD和棱B1B上的任意一点.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/18 15:17:01
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线BD和棱B1B上的任意一点.
(1)求证:不论点E、F怎样移动,EF与A1C1所成的角均为定值;
(2)又若F为B1B的中点,当DE:EB等于多少时,EF⊥平面A1FC1.
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线BD和棱B1B上的任意一点.
(1) 因为A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1
所以 A1C1⊥面DBB1D1
A1C1⊥EF 即不论点E、F怎样移动,EF与A1C1所成的角均为90度.
(2)以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则D(0,0,0),C(1,1,0),C1(0,1,1),F(1,1,0.5)
向量 C1F=(1,0,-0.5)
设DE:EB= λ,根据定比分点公式得:E( λ/(1+λ),λ/(1+λ),0)
向量EF= (1/(1+λ),1/(1+λ),0.5)
假设EF⊥平面A1FC1.,则 EF⊥C1F.
向量EF*C1F=1/(1+λ)-0.25=0
λ=3
即当DE:EB=3时,EF⊥平面A1FC1.