数列{an} 定义如下,a1=2,an+1=an^2-an+1,求证1/a1+1/a2+1/a3+……+1/a2008
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/30 02:27:49
数列{an} 定义如下,a1=2,an+1=an^2-an+1,求证1/a1+1/a2+1/a3+……+1/a2008<1
符号说明:a[n]中n为下标.
由题意,a[n+1]-1=a[n]*(a[n]-1)
等式两边取倒数,得到1/(a[n+1]-1)=1/(a[n]-1)-1/a[n]
于是有1/a[n]=1/(a[n]-1)-1/(a[n+1]-1),对任意正整数n成立
于是
1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+……+1/a[2008]
=1/(a[1]-1)-1/(a[2009]-1)
=1-1/(a[2009]-1)
要证此式小于1,只需再证a[2009]>1
而a[n+1]-a[n]=a[n]^2-2*a[n]-1=(a[n]-1)^2≥0
因此对任意n>1有a[n]≥a[1]=2,所以a[2009]≥2>1成立,故命题得证.
由题意,a[n+1]-1=a[n]*(a[n]-1)
等式两边取倒数,得到1/(a[n+1]-1)=1/(a[n]-1)-1/a[n]
于是有1/a[n]=1/(a[n]-1)-1/(a[n+1]-1),对任意正整数n成立
于是
1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+……+1/a[2008]
=1/(a[1]-1)-1/(a[2009]-1)
=1-1/(a[2009]-1)
要证此式小于1,只需再证a[2009]>1
而a[n+1]-a[n]=a[n]^2-2*a[n]-1=(a[n]-1)^2≥0
因此对任意n>1有a[n]≥a[1]=2,所以a[2009]≥2>1成立,故命题得证.
已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an 求证{an-1}为等比数列 令bn=(2-n)(an-1)求
一直数列{An}满足A1=1/2,A1+A2+…+An=n^2An
数列{an}满足:1/a1+2/a2+3/a3+…+n/an=2n
已知数列an的各项均为正数且a1+a2+a3+.an=1/2(an²+an)求证数列an是等差数
一道很难的数列题!数列{an}中,a1=1,a2=6,an+2=an+1-an,求a2008
数列{an}中,a1+a2+a3+…+an=(2^n)-1,则a1^2+a2^2+a3^2+…+an^2等于
数列放缩已知an=n^2,求证1/a1+1/a2+…+1/an
在数列{an},a1=1,Sn=a1+a2+a3+……+an,an=2Sn-1,求an
已知数列{An}满足a1=1,An+1=2An+1.求A1+A2+A3+…+An的值
已知数列{an}满足a1+a2+a3+...+an=n^2+2n.(1)求a1,a2,a3,a4
在数列an中,a1=1/2 an+1=3an/an+3 求a2 a3 a4 a5?
已知数列{an}中,a1+a2+a3+……+an=3^n-2^n/2^n(n=1,2,……)求证{an}是等