神马作文网求解非齐次线性方程,y''+y=xe^-x,
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 05:02:56
求解非齐次线性方程,y''+y=xe^-x,
特征方程：t^2+1=0,t=±i
所以通解y1=C1sinx+C2cosx
设特解为y*=(Ax+B)e^(-x)
则y*'=Ae^(-x)-(Ax+B)e^(-x)=(-Ax+A-B)e^(-x)
y*''=-Ae^(-x)-(-Ax+A-B)e^(-x)=(Ax-2A+B)e^(-x)
所以2Ax-2A+2B=x
A=B=1/2
y*=1/2(x+1)e^(-x)
所以y=y1+y*=C1sinx+C2cosx+1/2(x+1)e^(-x)
再问： 特征方程的根为复数，对特解的设法有什么影响么？就一中设法么？不分情况了？
再答： 复数就对应正余弦了。
所以通解y1=C1sinx+C2cosx
设特解为y*=(Ax+B)e^(-x)
则y*'=Ae^(-x)-(Ax+B)e^(-x)=(-Ax+A-B)e^(-x)
y*''=-Ae^(-x)-(-Ax+A-B)e^(-x)=(Ax-2A+B)e^(-x)
所以2Ax-2A+2B=x
A=B=1/2
y*=1/2(x+1)e^(-x)
所以y=y1+y*=C1sinx+C2cosx+1/2(x+1)e^(-x)
再问： 特征方程的根为复数，对特解的设法有什么影响么？就一中设法么？不分情况了？
再答： 复数就对应正余弦了。