设函数f（x）=lnx-x2+ax（a∈R）．

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/13 15:45:41

设函数f（x）=lnx-x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）是函数f（x）在x∈[1，+∞）的图象上的任意两点，且满足

f(x

（Ⅰ） f′(x)＝
1
x−2x+a＝
−2x2+ax+1
x，
由f'（x）=0，得-2x²+ax+1=0，该方程的判别式△=a²+8＞0，
可知方程-2x²+ax+1=0有两个实数根
a±
a2+8
4，又x＞0，故取x＝
a+
a2+8
4，
当x∈(0，
a+
a2+8
4)时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈(
a+
a2+8
4，+∞)时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
则函数f（x）的单调递增区间是(0，
a+
a2+8
4)；递减区间是(
a+
a2+8
4，+∞)．
（Ⅱ）不妨设x₁＞x₂≥1，不等式
f(x1)−f(x2)
x1−x2＜2转化为f（x₁）-2x₁＜f（x₂）-2x₂，
令φ（x）=f（x）-2x，可知函数φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故φ'（x）=f'（x）-2≤0恒成立，
故
1
x−2x+a−2≤0恒成立，即a≤2x−
1
x+2恒成立．
当x∈[1，+∞）时，函数y＝2x−
1
x+2单调递增，故当x=1时，函数y＝2x−
1
x+2取得最小值3，则实数a的取值范围是a≤3，则实数a的最大值为3．
（Ⅲ）g'（x）=（1-x）e^1-x，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数；当x∈（1，e）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数．可得函数g（x）在区间（0，e]的值域为（0，1]．
令F（x）=f（x）+1，则F′(x)＝f′(x)＝
−2x2+ax+1
x，
由F'（x）=0，结合（Ⅰ）可知，方程F'（x）=0在（0，∞）上有一个实数根x₃，若x₃≥e，则F（x）在（0，e]上单调递增，不合题意，
可知F'（x）=0在（0，e]有唯一的解x3＝
a+
a2+8
4，且F（x）在(0，
a+
a2+8
4)上单调递增；在(
a+
a2+8
4，+∞)上单调递减．
因为∀x₀∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x₀）在（0，e]内有两个不同的实数根，所以F（e）≤0，且F（x）_max＞1．
由F（e）≤0，即lne-e²+ae+1≤0，解得a≤e−
2
e．
由F（x）_max=f（x₃）+1＞1，即lnx3−
x23+ax3+1＞1，lnx3−
x23+ax3＞0，
因为−2
x23+ax3+1＝0，所以a＝2x3−
1
x3，代入lnx3−
x23+ax3＞0，得lnx3+
x23−1＞0，
令h（x）=lnx+x²-1，可知函数h（x）在（0，e]上单调递增，而h（1）=0，则h（x₃）＞h（1）=0，
所以1＜x₃＜e，而a＝2x3−
1
x3在1＜x₃＜e时单调递增，可得1＜a＜2e−
1
e，
综上所述，实数a的取值范围是(1，e−
2
e]．

已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(a∈R）（2014•市中区二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（2014•烟台二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（2012•资阳一模）已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R．已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）． ax lnx|函数f（x）=（a+1）lnx+ax*x+1,设a小于等于-2,证明任意x1,x2大于0,|f（已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．已知函数f（x）=lnx+x2+ax．已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．