设A为n(n>2)阶方阵,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 19:28:45
设A为n(n>2)阶方阵,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆
AA* = |A|·E.
若A可逆,有|A| ≠ 0,A* = |A|·A^(-1)也是可逆的.
若A不可逆,有|A| = 0,故AA* = 0.
r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*) = 0,即r(A*) ≤ n-r(A).
当A ≠ 0,r(A) > 0,得r(A*) < n,A*不可逆.
而当A = 0,由伴随矩阵的构造易得A* = 0,A*同样不可逆.
实际上可以证明:对n > 1,
r(A) = n时,r(A*) = n.
r(A) = n-1时,r(A*) = 1.
r(A) < n-1时,r(A*) = 0.
再问: 必要性怎么证???
再答: 证明已经包含充分和必要性了, 只是充分性用得是逆否命题. 必要性是: 若A可逆则A*可逆. 充分性是: 若A*可逆则A可逆. 其逆否命题就是若A不可逆则A*不可逆, 也可理解为反证法.
再答: 不用谢.
若A可逆,有|A| ≠ 0,A* = |A|·A^(-1)也是可逆的.
若A不可逆,有|A| = 0,故AA* = 0.
r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*) = 0,即r(A*) ≤ n-r(A).
当A ≠ 0,r(A) > 0,得r(A*) < n,A*不可逆.
而当A = 0,由伴随矩阵的构造易得A* = 0,A*同样不可逆.
实际上可以证明:对n > 1,
r(A) = n时,r(A*) = n.
r(A) = n-1时,r(A*) = 1.
r(A) < n-1时,r(A*) = 0.
再问: 必要性怎么证???
再答: 证明已经包含充分和必要性了, 只是充分性用得是逆否命题. 必要性是: 若A可逆则A*可逆. 充分性是: 若A*可逆则A可逆. 其逆否命题就是若A不可逆则A*不可逆, 也可理解为反证法.
再答: 不用谢.
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n阶矩阵A可逆的充分必要条件是( )
A为n阶方阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆.
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设A为n阶矩阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆
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