一道初中矩形折叠问题,40分求高手

一道初中矩形折叠问题,40分求高手
在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD中,边AB=2,AD=1,且AB,AD分别在x轴,y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合,将矩形折叠使点A落在边DC上,设A′是点A落在边DC上的对应点.
（1）当矩形ABCD沿直线y=-0.5x+b折叠时,求A′坐标和b
（2）当沿直线y=kx+b折叠时,求A′的坐标（k表示）；求出k和b之间的关系式.
（3）如果我们把折痕分为图1（与矩形两交点在CD,AB上）图2（在OD,AB上）,图3（在OD,BC上）分别求出k的取值范围
（只要求（3）写过程,详细的多+分）

先做第2问,直接求y=kx+b的一般情况设折线为L,则根据折叠的定义,AA'必与L垂直,这是个相当重要的条件于是有kAA'*kL=-1,因为L的斜率表示为k,所以kAA,=-1/k而A点为原点（0,0）,故根据点斜式可得出AA'方程为y=(-1/k)xA'由题意知肯定落在CD上,于是A'点的纵坐标必为1,代入AA'方程得到A'的横坐标为-k,于是A'的坐标用k表示为(-k,1)由折叠概念知,A,A'两点关于折线L对称,于是AA'的中点E在L上,E的坐标根据中点公式可求为(-k/2,1/2),带入到L的方程=kx+b中,可得到关于k,b的关系式：b=(k^+1)/2由此,第2问先一步求出第1问显然是第2问当k给定具体值时候的情况,把k=-0.5代入A'坐标与b、k间的关系式,可得到A'(1/2,1),b=5/8最后来求第3问,由第2问中A'的位置可以确定,A'由于在DC之间任意落位,所以它横坐标A'D的范围是[0,2],根据用k表示的A'横坐标的关系,可以得出-k∈[0,2],于是,k∈[-2,0],这是满足所以题意时的k的取值范围,下面考察当A'按从C到D的运动顺序,所对应的折线与矩形交点的几种情况：可以看出,到A'与C重合时,此时AA=AC,AA'的垂直平分线即折线L与矩形的交点必然是位于CD之上（因为CD>AD的关系）；如果A'从C点出发向D的方向运动,直到A'落在一个特定的位置之前,折线与矩形两个交点都是分别在CD,AB上,而当A'取这个临界点的位置时,无疑,此时折线与CD恰好交于D点,也就是说,D点此时在折线L上,由A,A'点的对称于L的关系,可得出AD=A'D的结论,所以A'D=1,也就是说-k=1,k=-1,所以,当k∈[-2,-1],-k∈[1,2],即A’距离y轴的范围是由1到2时,存在A'D>AD,故满足折线与矩形的交点在AB和CD上的条件,也就是图1的情况,当k恰好等于-1时,折线恰好过D点；继续A'向D点移动的过程,此时,可以分析出,当k稍微大于-1时,A'D<AD,此时L必与CD交于其延长线上,所以L与AD一定会相交,而显然,随着A'向着D点的靠近,折线L与AB的交点位置也是在不断靠近B点的,也就是说,在A'移动的过程中,折线最终会与B点相交,而在这种情况发生之前,显然折线是与矩形中AD,AB两边相交的,下面做出图来说明这又一个的临界点、特殊点如图中所示(图不知道能不能贴上去,反正第一次答完题后图没有显示,楼主自己示意一下就行),设折线L与AD交于E点,根据折叠的对称性,可得△ABE≌△A'BE,有∠EA'B=90度,A'B=AB=2,于是在Rt△A’CE中,可求出A'C=√3,A'D=CD-A'D=2-√3,也就是说,此时的-k=2-√3,k=√3-2由此得出,当k∈[-1,√3 -2],-k∈[2-√3,1]时,折线L与AD,AB两边相交,此时满足条件中的图2情况,而当k=√3 -2时,折线恰好过B点；最后,当k∈[√3-2,0],-k∈[0,2-√3]时,A'点恰好从刚才折线过点B的临界点运动到终点D,在这个过程中,显然折线L是与AD相交的,而由于AB与折线的交点逐渐在远离B点,因此可以判断出此时L还是与BC相交的,故此时的折线所对应的是图3中与AD,BC相交时的情况 当k=0时,A'与D重合,此时AD关于折线对称,自然有折线L平行于x轴的结论,此时的L平分矩形ABCD中AD,BC这两边综上,第3问的结论是：当折痕满足与于CD,AB相交时,k∈[-2,-1）;当折痕交于AB以及过点D即同时与CD、AD相交时,k=-1;当折痕满足于与AD,AB相交时,k∈(-1,√3-2);当折痕交于AD以及过点B即同时与AB、BC相交时,k=√3-2;当折痕满足于与AD,BC相交时,k∈(√3-2,0]