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函数f(x)=ax3+bx2+cx的导函数为f'(x),且满足f(1)=0,f'(0)f'(1)>0

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/17 07:48:05
函数f(x)=ax3+bx2+cx的导函数为f'(x),且满足f(1)=0,f'(0)f'(1)>0
(1)证明函数f(x)必有两个极值点(2)求证0<c/a<1
函数f(x)=ax3+bx2+cx的导函数为f'(x),且满足f(1)=0,f'(0)f'(1)>0
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f(1)=0,得到a+b+c=0
f'(0)f'(1)>0,得到c(3a+2b+c)>0,c(a-c)>0

f'(x)的判别式为4b^2-12ac=4(a+c)^2-12ac=4(a-c)^2+4ac
无论ac是正还是负,判别式都大于0(显然a,c不能同时为0,否则b=0)
故函数f(x)必有两个极值点

c(a-c)>0;ac(1-c/a)>0,同时除以a^2;得到c/a(1-c/a)>0,即0<c/a<1