(2009•重庆模拟)已知f(x)=ln(x+1),f(x)的反函数为f-1(x).
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/30 06:37:38
(2009•重庆模拟)已知f(x)=ln(x+1),f(x)的反函数为f-1(x).
(I)求g(x)=f(x)-f-1(x)的单调区间;
(II)若对任意x>0,不等式Inf-1(x)-f(ex)<
(I)求g(x)=f(x)-f-1(x)的单调区间;
(II)若对任意x>0,不等式Inf-1(x)-f(ex)<
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(I)由y=ln(x+1),得x=ey-1,∴f-1(x)=ex-1,x∈R.…(1分)
∴g(x)=ln(x+1)-ex+1,且x>-1,∴g′(x)=
1
x+1-ex.…(3分)
当x>0时,
1
x+1<1<ex,∴g′(x)<0;…(4分)
当-1<x<0时,
1
x+1>1>ex,∴g′(x)>0.…(5分)
∴g(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞).…(6分)
(II)设h(x)=
4
3x+f(ex)-lnf-1(x)=
4
3x+ln(ex+1)-ln(ex-1),x>0…(7分)
∵h′(x)=
4
3+
ex
ex+1-
ex
ex−1=
2
3×
(ex+1)(ex−2)
e2x−1,…(9分)
当0<x<ln2时,h′(x)<0,∴h(x)在(0,ln2)上是减函数; …(10分)
当x>ln2时,h′(x)>0,∴h(x)在(ln2,+∞)上是增函数. …(11分)
∴h(x)min=h(ln2)=
4
3ln2+ln3=ln6
32
,∴a<ln6
32
.…(12分)
∴g(x)=ln(x+1)-ex+1,且x>-1,∴g′(x)=
1
x+1-ex.…(3分)
当x>0时,
1
x+1<1<ex,∴g′(x)<0;…(4分)
当-1<x<0时,
1
x+1>1>ex,∴g′(x)>0.…(5分)
∴g(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞).…(6分)
(II)设h(x)=
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3x+f(ex)-lnf-1(x)=
4
3x+ln(ex+1)-ln(ex-1),x>0…(7分)
∵h′(x)=
4
3+
ex
ex+1-
ex
ex−1=
2
3×
(ex+1)(ex−2)
e2x−1,…(9分)
当0<x<ln2时,h′(x)<0,∴h(x)在(0,ln2)上是减函数; …(10分)
当x>ln2时,h′(x)>0,∴h(x)在(ln2,+∞)上是增函数. …(11分)
∴h(x)min=h(ln2)=
4
3ln2+ln3=ln6
32
,∴a<ln6
32
.…(12分)
函数f(x)=ln(x-1)(x>1)的反函数是( )
函数f(x)=ln(x-1)(x大于1)的反函数是?
已知函数f(x)= log1/2 (x+√(x²-2))的反函数为f-1(x)
数学问题已知函数f(x)的反函数为y=f^-1(X) 则y=f(x-1)的反函数
已知函数y=f(x)的定义域为大于0,且f(根号x+1)=x+2根号x,则f(x)反函数是?
已知函数f(x)=lnx+1(x>0),则f(x)的反函数为( )
(2009•武汉模拟)函数f(x)=-ln|x-1|的单调递减区间为( )
问一道反函数的题目已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),方程f(x)+x-2=0与f-1(x)+x-2=0的实
(2012•湖南模拟)已知函数f(x)=12x2+x−(x+1)ln(x+1)
已知函数f(x)=ln(x+1),
一道反函数的题已知定义在R上的函数f(x)的反函数f-1(x),且函数f(x+1)的反函数恰为f-1(x+1),若f(1
f(x)=ln(1+x)-[2x/(x+2)] 请问f(x)的导数f ’(x)是多少