数列不等式题.已知a[i]>=i,(i=1,2,...,n),a[i]+a[2]+.+a[n}>=[n(n+1)^2]/
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 16:35:09
数列不等式题.
已知a[i]>=i,(i=1,2,...,n),a[i]+a[2]+.+a[n}>=[n(n+1)^2]/2.求证:∑i=1 to n(a[i]-i)/(i+∑j≠i a[j])
图片我发到我的百度空间那。
http://hi.baidu.com/%CA%FD%D1%A7lover/album/item/6ec8d0126f98738aac6e75ce.html#
已知a[i]>=i,(i=1,2,...,n),a[i]+a[2]+.+a[n}>=[n(n+1)^2]/2.求证:∑i=1 to n(a[i]-i)/(i+∑j≠i a[j])
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确实有简洁解法:
首先为了方便表达,设s = a[1]+a[2]+...+a[n].另设w = n(n+1)/2.
则:
sum[i=1..n] (a[i] - i)/(i+sum[ j ≠ i ] a[j] ]
= sum[i=1..n] (a[i] - i) / ( s - (a[i] - i ) )
每个分式加1:
= (sum[i=1..n] s / (s-(a[i]-i) ) ) - n
用Cauchy不等式的一个形式:
sum(a/b) >= (sum(sqrt(a))^2 / sum(b)
则原式
>= (n*sqrt(s))^2 / (n*s - s + w) - n
= (n^2*s)/(n*s - s + w) - n
= (n*s - n*w) / (n*s - (s - w))
因为s - w >= (n(n+1)^2)/2 - n(n+1)/2 = n^2(n+1)/2 = n*w
所以原式>=1.
再问: 很好。。。和我的一样。。。 分给你。
首先为了方便表达,设s = a[1]+a[2]+...+a[n].另设w = n(n+1)/2.
则:
sum[i=1..n] (a[i] - i)/(i+sum[ j ≠ i ] a[j] ]
= sum[i=1..n] (a[i] - i) / ( s - (a[i] - i ) )
每个分式加1:
= (sum[i=1..n] s / (s-(a[i]-i) ) ) - n
用Cauchy不等式的一个形式:
sum(a/b) >= (sum(sqrt(a))^2 / sum(b)
则原式
>= (n*sqrt(s))^2 / (n*s - s + w) - n
= (n^2*s)/(n*s - s + w) - n
= (n*s - n*w) / (n*s - (s - w))
因为s - w >= (n(n+1)^2)/2 - n(n+1)/2 = n^2(n+1)/2 = n*w
所以原式>=1.
再问: 很好。。。和我的一样。。。 分给你。
(i?a[i-1]!='\n':1)
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