二重积分的概念与性质根据二重积分的性质,比较下列积分的大小∫∫ln(x+y)dσ与∫∫[ln(x+y)]³dσ
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/26 00:35:01
二重积分的概念与性质
根据二重积分的性质,比较下列积分的大小
∫∫ln(x+y)dσ与∫∫[ln(x+y)]³dσ,其中D的顶点分别是(1,0),(2,0),(1,1)的
D D
三角形闭区域
根据二重积分的性质,比较下列积分的大小
∫∫ln(x+y)dσ与∫∫[ln(x+y)]³dσ,其中D的顶点分别是(1,0),(2,0),(1,1)的
D D
三角形闭区域
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n),并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ (Σf(ξi,ηi)Δδi)
这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心,平面薄片转动惯量,平面薄片对质点的引力等等.此外二重积分在实际生活,比如无线电中也被广泛应用.
编辑本段
性质
性质1 (积分可加性) 函数和(差)的二重积分等于各函数二重积分的和(差),即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2 (积分满足数成) 被积函数的常系数因子可以提到积分号外,即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数)
性质1与性质2合称为积分的线性性.
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y)∣dσ
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积,
则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积,则Sσ=∫∫dσ
性质6二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)●σ
∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ (Σf(ξi,ηi)Δδi)
这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心,平面薄片转动惯量,平面薄片对质点的引力等等.此外二重积分在实际生活,比如无线电中也被广泛应用.
编辑本段
性质
性质1 (积分可加性) 函数和(差)的二重积分等于各函数二重积分的和(差),即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2 (积分满足数成) 被积函数的常系数因子可以提到积分号外,即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数)
性质1与性质2合称为积分的线性性.
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y)∣dσ
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积,
则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积,则Sσ=∫∫dσ
性质6二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)●σ
计算二重积分∫∫ln(x^2+y^2)dxdy,其中积分区域D={(x,y)/1
求教高数二重积分计算二重积分∫∫ln(x^2+y^2)dxdy,其中积分区域D={(x,y)/1
高等数学利用极坐标计算二重积分:∫∫ln(1+x^2+y^2)dσ,其中D是由圆周x^2+y^2=1及坐标轴所围城的在第
二重积分的记法二重积分可以这样写∫∫f(x,y))dσ=∫dx∫f(x,y)dy,其中∫dx与∫f(x,y)dy是用乘号
利用二重积分的几何意义计算二重积分.∫∫(b-Sqrt(x^2+y^2))dσ,D:x^2+y^2≤a^2,a>0
计算二重积分I=∫∫xydxdy,期中D:由y=x的平方与y=x围城
高数中关于二重积分的问题,∫(上限e,下限1)dx∫(上限ln x,下限0)f(x,y)dy交换积分次序
计算二重积分:∫∫(D)ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1及坐标轴所围的在第一象限内的
计算二重积分∫∫ |sin(x-y)|dσ,积分区域为0≦x≦y≦2π
计算二重积分:∫∫D ln(x^2+y^2)dxdy,其中D为e^2≤x^2+y^2≤e^4
二重积分高数题二重积分:∫d∫xydxdy D:y=x y=x/2 y=2 所围成的面积 计算出来 看看
由二重积分的几何意义有∫∫dσ=多少?,其中D:x^2/9+y^2/16