已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe1-x(a∈R,e为自然对数的底)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/04 11:26:25
已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe1-x(a∈R,e为自然对数的底)
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围.
(Ⅰ)∵f′(x)=(2−a)−
2
x,(x>0),
∴(1)当2-a≤0即a≥2时f'(x)<0恒成立.
(2)当2-a>0即a<2时,由f'(x)<0,得0<x<
2
2−a;
由f'(x)>0,得x>
2
2−a.
因此:当a≥2时函数f(x)的单调减区间是(0,+∞);
当a<2时,函数f(x)的单调减区间是(0,
2
2−a),单调增区间是(
2
2−a,+∞)
(II)∵g'(x)=(1-x)e1-x,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,
又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2-e>0,
∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].
由(Ⅰ)知当a≥2时函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,不合题意,
∴a<2,并且0<
2
2−a<e,即a<2−
2
e①
∵x→0时f(x)→+∞,故对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同xi(i=1,2),
使得f(xi)=g(x0)成立,当且仅当a满足
f(
2
2−a)=a−2ln
2
2−a≤0
f(e)=(2−a)(e−1)−2≥1,
注意到f(1)=0,故只要f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1,即a≤2−
3
e−1②
由①②知,所求的a得取值范围是(−∞,2−
3
e−1]
2
x,(x>0),
∴(1)当2-a≤0即a≥2时f'(x)<0恒成立.
(2)当2-a>0即a<2时,由f'(x)<0,得0<x<
2
2−a;
由f'(x)>0,得x>
2
2−a.
因此:当a≥2时函数f(x)的单调减区间是(0,+∞);
当a<2时,函数f(x)的单调减区间是(0,
2
2−a),单调增区间是(
2
2−a,+∞)
(II)∵g'(x)=(1-x)e1-x,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,
又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2-e>0,
∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].
由(Ⅰ)知当a≥2时函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,不合题意,
∴a<2,并且0<
2
2−a<e,即a<2−
2
e①
∵x→0时f(x)→+∞,故对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同xi(i=1,2),
使得f(xi)=g(x0)成立,当且仅当a满足
f(
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2−a)=a−2ln
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2−a≤0
f(e)=(2−a)(e−1)−2≥1,
注意到f(1)=0,故只要f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1,即a≤2−
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e−1②
由①②知,所求的a得取值范围是(−∞,2−
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e−1]
已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)
已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)
已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=xlnx-2x(其中e为自然对数的底数).
(2012•河南模拟)已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx−1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底
已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx−1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数).
已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx−1,g(x)=(lnx−1)ex +x(其中e为自然对数的底).
急求!已知函数f(x)=1/2(x平方)-a与函数g(x)=e平方*lnx(e为自然对数的底)有公共的切线,且切点相同
已知常数a (a大于0),e为自然对数的底数,函数f(x)=e^x-x,g(x)=x^2-aInx.
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已知a属于R,函数f(x)=(-x^2+ax)e^x (x属于R,e为自然对数的底数)
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